Question

Знайдіть площу правильного n-кутника , якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює 6 см, а n дорівнює : 1) 3; 2)4; 3)6.​

Answer 1

Формула площі n-кутника через радіус вписаного кола:

S = nr²· tg 180°/n, де n – число сторін правильного багатокутника, r – радіус вписаного кола правильного багатокутника

Якщо n = 3, то S = 3 · 6²· tg 180°/3 = 3 · 36 · tg 60° = 108 √3

Якщо n = 4, то S = 4 · 6²· tg 180°/4 = 4 · 36 · tg 45° = 144

Якщо n = 6, то S = 6 · 6²· tg 180°/6 = 6 · 36 · tg 30° = 216 · √3/3 = 72√3

Answer 2

Площа правильного n-кутника може бути знайдена за допомогою наступної формули:

$A = \frac{n \cdot s \cdot r}{2},$

де:

• $n$ - кількість сторін (в даному випадку, кількість вершин правильного багатокутника),
• $s$ - довжина однієї сторони,
• $r$ - радіус вписаного кола.

Для знаходження довжини сторони $s$, можна використати відомий відношення між радіусом вписаного кола і стороною правильного n-кутника:

$r = \frac{s}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}.$

Тепер ми можемо використати це відношення для знаходження довжини сторони $s$, і підставити значення $s$ у формулу для площі.

Давайте знайдемо площу для кожного з ваших n-кутників:

1. n = 3: Радіус вписаного кола: $r = 6$ см. Довжина сторони: s = 2 \cdot r \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \cdot 6 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12 \cdot \sqrt{3} см. Площа: \(A = \frac{n \cdot s \cdot r}{2} = \frac{3 \cdot 12 \cdot \sqrt{3} \cdot 6}{2} = 54 \cdot \sqrt{3} см^2.

2. n = 4: Радіус вписаного кола: $r = 6$ см. Довжина сторони: s = 2 \cdot r \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \cdot 6 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 12 см. Площа: \(A = \frac{n \cdot s \cdot r}{2} = \frac{4 \cdot 12 \cdot 6}{2} = 144 см^2.

3. n = 6: Радіус вписаного кола: $r = 6$ см. Довжина сторони: s = 2 \cdot r \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \cdot 6 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12 см. Площа: \(A = \frac{n \cdot s \cdot r}{2} = \frac{6 \cdot 12 \cdot 6}{2} = 216 см^2.

Отже, площі для вказаних правильних n-кутників будуть:

1. 54√3 см²;
2. 144 см²;
3. 216 см².