Question

У прямокутнику діагональ ділить кут у відношенні 1:2, а менша сторона дорівнює 2,7 см. Знайдіть довжини діагоналей прямокутника.

Answer 1

Ответ:

АС=ВД=5,4см

Объяснение:

обозначим вершины прямоугольника ABCD с диагоналями АС и ВД а точку их пересечения О. Каждая диагональ делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника АВС и АСД, в которых стороны прямоугольника являются катетами а диагонали гипотенузами. Обозначим пропорции 1:2 как х и 2х. Пусть <САД=х, а <ВАС=2х и зная, что диагональ делит прямой угол равный 90°, составим уравнение:

х+2х=90

3х=90

х=90÷3=30°.

Итак: <САД=30°, тогда катет СД, лежащий напротив него равен половине гипотенузы поэтому АС=2×2,7=5,4см

Так как диагонали прямоугольника равны, то АС=ВД=5,4см

Answer 2

Позначимо більшу сторону прямокутника як "a", а меншу сторону як "b". За заданими умовами, ми маємо таке співвідношення для кутів:

$\frac{\angle BAC}{\angle CAD} = 1:2$

А також відомо, що менша сторона прямокутника дорівнює 2.7 см:

$b = 2.7 \, \text{см}$

Давайте позначимо діагоналі прямокутника як "d₁" (більша діагональ) та "d₂" (менша діагональ).

З допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику ABC, ми можемо отримати такі рівняння:

$\tan \angle BAC = \frac{b}{d₂}$ $\tan \angle CAD = \frac{b}{d₁}$

Знаючи співвідношення між кутами, ми можемо записати:

$\frac{\tan \angle BAC}{\tan \angle CAD} = \frac{d₂}{d₁} = \frac{1}{2}$

Враховуючи вираз для меншої сторони і підставляючи вираз для діагоналей, маємо:

$\frac{2.7}{d₁} = \frac{d₂}{2.7}$

Розв'яжемо відносно однієї з діагоналей, наприклад, $d₂$:

$d₂ = \frac{2.7^2}{d₁}$

Тепер, використовуючи вираз для відношення діагоналей $d₂/d₁ = 1/2$, можемо виразити $d₁$:

$\frac{1}{2} = \frac{d₂}{d₁}$ $d₁ = 2 \cdot d₂$

Підставимо значення $d₂$ з попереднього виразу:

$d₁ = 2 \cdot \frac{2.7^2}{d₁}$

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

$d₁^2 = 2 \cdot 2.7^2$ $d₁^2 = 14.58$ $d₁ = \sqrt{14.58}$ $d₁ \approx 3.82 \, \text{см}$

Тепер можемо знайти $d₂$:

$d₂ = \frac{1}{2} \cdot d₁$ $d₂ = \frac{1}{2} \cdot 3.82$ $d₂ \approx 1.91 \, \text{см}$

Таким чином, довжина більшої діагоналі $d₁$ близько 3.82 см, а довжина меншої діагоналі $d₂$ близько 1.91 см.