Question

В остроугольном треугольнике АBC, в котором АС=6 и угол ABC=60°, проведены высоты АА1 и СС1. Найти длину А1С1.

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

Рассмотрим треугольник АВА1: угол И=60, угол А1=90 => угол А = 30,

Аналогично в треугольнике С1ВС: угол С = 30,

Пусть пересечение АА1 и СС1 - это точка О. Получается, что треугольник АС1О и треугольник СА1О являются треугольниками типа 30-60-90.

Получается, что АО=2*С1О, СО = 2*А1О,

Треугольник С1А1О подобен треугольнику АОС => АС = 2*А1С1 => А1С1 = 3

Answer 2

Давайте воспользуемся геометрическими свойствами остроугольных треугольников и их высот.

У нас есть остроугольный треугольник ABC, в котором AC = 6 и угол ABC = 60°. Проведены высоты AA1 и CC1.

Поскольку ABC - остроугольный треугольник, его высоты AA1 и CC1 пересекаются внутри треугольника.

Для начала, давайте найдем длину высоты BB1. В остроугольных треугольниках высота, проведенная к острому углу, является наибольшей из трех высот. Так как у нас угол ABC = 60°, то высота BB1 будет наибольшей высотой.

Так как треугольник ABC является равносторонним, у нас есть равенство AB = BC = AC = 6.

Также, в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных 30-60-90 треугольника.

Поэтому, в треугольнике ABC:

• BB1 = BC * sqrt(3) / 2 = 6 * sqrt(3) / 2 = 3 * sqrt(3).

Теперь, поскольку BB1 - наибольшая высота, она является диаметром описанной окружности треугольника A1BC1. А1С1 - это хорда этой окружности. Таким образом, для нахождения длины A1C1 нам нужно найти длину хорды, соединяющей две точки на окружности, которые делят её диаметр на 2 равные части.

По свойствам окружности: A1C1 = sqrt(3) * (длина диаметра BB1) / 2 = sqrt(3) * (3 * sqrt(3)) / 2 = 9 / 2.

Итак, длина A1C1 равна 9 / 2 или 4.5.