Question

Два кола з центрами О1 і О2 перетинаються в точках С і D, кожне з них проходить через центр іншого. Доведіть, що угл С О1 D=120°, угл О1 D О2=60°​

Answer 1

Ответ:

Доказательство:

пусть радиус окружности с центром в точке о - r; а с центром в точке о1 - r1

рассмотрим треугольник oao1 и треугольник  obo1

oo1 - общая сторона

o1a=o1b=r1

oa=ob=r

треугольник оао1= треугольнику оbo1 по трем сторонам (или по 3-ему признаку равенства треугольников)

Доказано

Answer 2

Для доведення даного твердження використаємо властивості перетину кола та його діаметра.

Оскільки кожне коло проходить через центр іншого, можна припустити, що центри кола О1 і О2 лежать на одній прямій. Позначимо центри кола О1 і О2 як точки М і Н відповідно.

Також, оскільки кола перетинаються в точках С і D, то С і D лежать на лінії, що з'єднує центри кола О1 і О2, тобто точки С, М і Н лежать на одній прямій.

Оскільки кожне коло проходить через центр іншого, довжина СМ дорівнює радіусу кола О2, а довжина СН дорівнює радіусу кола О1. Нехай радіуси кола О1 і О2 позначені як r1 і r2 відповідно.

За властивостями перетину кола та його діаметра, утворена лінія між точками С і D є діаметром кола О2. Значить, довжина СD дорівнює 2r2.

Оскільки кола перетинаються в точках С і D, то радіуси кола О1 і О2 і є перпендикулярами, опущеними на дотичну до цих колів у точках С і D. Значить, кут СО1D є прямим кутом.

Також, оскільки СО1D є прямим кутом, а О1С = r2 і О1D = r2, то трикутник СО1D є рівнобедреним трикутником з бічними сторонами О1С і О1D. Значить, кути О1СD і О1DC є рівними.

Оскільки кути О1СD і О1DC є рівними, а сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то кожен з цих кутів дорівнює 180° - (кут СО1D) / 2.

Таким чином, кут СО1D дорівнює 180° - (кути О1СD і О1DC) = 180° - 2 * (180° - (кут СО1D) / 2) = 180° -