Question

Все боковые рёбра треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°, в основании лежит треугольник со сторонами 9,12,15 см. Найдите объём пирамиды​

Answer 1

В основании прямоугольный треугольник, так как 9² + 12² = 15².

Если все боковые рёбра треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°, то вершина проецируется на основание в центр описанной окружности. а высота пирамиды равна R.

Тогда R = H = 15/2.

Площадь основания So = (1/2)*9*12 = 54 кв.ед.

Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*54*(15/2) = 9*15 = 135 куб.ед.

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды можно использовать формулу:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды.

В данном случае, основание пирамиды - это треугольник со сторонами 9 см, 12 см и 15 см. Для вычисления площади этого треугольника можно воспользоваться полупериметром $p$ и формулой Герона:

$p = \frac{a + b + c}{2},$

где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника.

Для данного треугольника: $a = 9$ см, $b = 12$ см, $c = 15$ см.

$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18\text{ см}.$

Теперь, используя формулу Герона для площади треугольника:

$S_{\text{основания}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$

$S_{\text{основания}} = \sqrt{18 \cdot (18 - 9) \cdot (18 - 12) \cdot (18 - 15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54\text{ см}^2.$

Теперь нужно найти высоту пирамиды $h$. В данном случае, боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что треугольник, образованный одним из боковых рёбер, половиной стороны основания и высотой пирамиды, является прямоугольным треугольником с углом 45°. Такой треугольник можно считать равнобедренным, так как два катета равны.

Мы знаем, что катет равен половине стороны основания, то есть $9/2 = 4.5\text{ см}$, и мы можем использовать его для вычисления высоты пирамиды:

$h = 4.5 \cdot \sqrt{2} = 4.5 \cdot 1.414 \approx 6.363\text{ см}.$

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h = \frac{1}{3} \times 54 \times 6.363 \approx 108\text{ см}^3.$

Итак, объем пирамиды составляет примерно $108$ кубических сантиметров.