Question

1)В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом α и прилежащим к нему углом β. Найдите объем пирамиды, если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Рассмотрите случаи, когда α=6 см, α= 30°, β= 60°. 2)В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 2α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен R. Проведите вычисления при R=10см, α=60°, β=30°. 3)Докажите, что в правильной треугольной пирамиде FABC боковое ребро BF перпендикулярно к стороне AC основания пирамиды. Пожалуйста помогите!

Answer 1

Дано: < C =90° ; CB =a =6 см ; <ABC =β =60° ; <SAO =<SBO =<SCO = α =30° ;
S _ вершина пирамиды  SO ┴ (ABC) , O∈(ABC).
------- --------------------------------------------------------------------------------------------------
V =1/3*S(ABC) *SO ---> ?
Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом (в данном случае α =30° )   ,  то высота  пирамиды проходит через центр окружности , описанного около основания  . Здесь  этот центр O  середина  гипотенузы .
BA = BC/cosβ = a/cosβ ;
S(ABC) =1/2*BA*BC*sinβ = 1/2*a/cosβ*a*sinβ =1/2*a²*tqβ .
***   или S(ABC) =1/2*AC*BC =1/2*a*atqβ =1/2*a²*tqβ ***
SO = OB*tqα = 1/2*BA*tqα =1/2*a/cosβ*tqα ;
V =1/3*S(ABC) *SO = 1/3*1/2*a²*tqβ *1/2*a/cosβ*tqα  ;
V = (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ .                        ***1/12*a³*sinβ*tqα/cos²β ***

При   a =6 см ; β =60° ; α =30°  получится :
V= (1/12)a³*tqβ*tqα/cosβ =(1/12)*6³*tq60°*tq30°/cos60°  =(1/12)*6³ *2=36 (см³) .
**********************************************************************************************
2)   R =OA =OB = 10 см  ;  <AOB =2α =2*60° =120°  ;  <O₁CD = β =30° ;
(ABB₁A₁) | | OO₁
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
S(ABB₁A₁) ---> ?
ABB₁A₁  прямоугольник .
S = S(ABB₁A₁) = AB*BB₁ =AB*H ;  AB _хорда на нижней основ;
Из    ΔAOB :      AB=2*(Rsinα) .
H = Rtqβ ;
S =AB*H=2*Rsinα*Rtqβ =2R²sinα*tqβ .
при  R =10 см  ,  α =60° ,   β =30° получится :
S  =2R²sinα*tqβ  =2*10²sin60°*tq30° =  2*10²*√3/2*1/√3 = 100 (см²) .
3) Дано: правильная пирамида FABC ,  F_вершина .
   -------------------------------------------------------------------------
Доказать BF ┴ AC .
Пусть  FO  ┴  (ABC) , где  O основание  высоты  FO, т.е.  BO  проекция ребра  BF на плоскость  треугольника ABC . 
AC ┴ BM      [  BM  высота (медиана , биссектриса)  ] ⇒AC  ┴  BO    ⇒AC ┴ BF (теорема трех перпендикуляров) .

Answer 2

1) Объем пирамиды с прямоугольным треугольником в основании

Для нахождения объема пирамиды с прямоугольным треугольником в основании, нам необходимо знать длину катета α и прилежащий к нему угол β, а также угол α, под которым все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания.

Объем пирамиды можно вычислить по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Для нахождения площади основания пирамиды с прямоугольным треугольником, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника: S = (1/2) * α * β.

Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора: h = √(α^2 + β^2).

Теперь рассмотрим случаи, когда α = 6 см, α = 30° и β = 60°.

Случай 1: α = 6 см Для этого случая, у нас есть следующие значения: - α = 6 см - β (угол прилежащий к катету) - неизвестно

Для нахождения объема пирамиды, нам необходимо знать угол α, под которым все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания. У нас нет информации об этом угле, поэтому мы не можем точно вычислить объем пирамиды.

Случай 2: α = 30° Для этого случая, у нас есть следующие значения: - α = 30° - β (угол прилежащий к катету) - неизвестно

Для нахождения объема пирамиды, нам необходимо знать угол α, под которым все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания. У нас нет информации об этом угле, поэтому мы не можем точно вычислить объем пирамиды.

Случай 3: α = 6 см, β = 60° Для этого случая, у нас есть следующие значения: - α = 6 см - β = 60°

Для нахождения объема пирамиды, мы можем использовать формулы, описанные выше.

Площадь основания пирамиды: S = (1/2) * α * β = (1/2) * 6 см * 60° = 180 см².

Высота пирамиды: h = √(α^2 + β^2) = √((6 см)^2 + (60°)^2) ≈ 60.83 см.

Объем пирамиды: V = (1/3) * S * h = (1/3) * 180 см² * 60.83 см ≈ 3,660 см³.

Таким образом, объем пирамиды при α = 6 см, β = 60° составляет примерно 3,660 см³.

2) Площадь сечения цилиндра

Для нахождения площади сечения цилиндра, нам необходимо знать радиус основания R, угол α, на котором отсекается дуга от окружности основания, и угол β между отрезком, соединяющим центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, и плоскостью основания.

Площадь сечения цилиндра можно вычислить по формуле: A = (1/2) * R^2 * (α - sin(α)) + R * R * sin(β).

Теперь рассмотрим случай, когда R = 10 см, α = 60° и β = 30°.

Случай: R = 10 см, α = 60°, β = 30° Для этого случая, у нас есть следующие значения: - R = 10 см - α = 60° - β = 30°

Площадь сечения цилиндра: A = (1/2) * (10 см)^2 * (60° - sin(60°)) + (10 см)^2 * sin(30°) ≈ 314.16 см².

Таким образом, площадь сечения цилиндра при R = 10 см, α = 60° и β = 30° составляет примерно 314.16 см².

3) Доказательство перпендикулярности бокового ребра пирамиды

Для доказательства перпендикулярности бокового ребра пирамиды FABC к стороне AC основания пирамиды, мы можем использовать свойства правильной треугольной пирамиды.

Правильная треугольная пирамида имеет все боковые грани равными треугольниками и все углы основания равными. Также, боковые ребра пирамиды перпендикулярны к основанию.

Поэтому, боковое ребро BF пирамиды FABC будет перпендикулярно к стороне AC основания пирамиды.

Таким образом, боковое ребро BF пирамиды FABC перпендикулярно к стороне AC основания пирамиды.