Question

Знайдіть зовнішній кут при вершині С трикутника ABC якщо відомі координати трьох його вершин А(1; -2; -1), В(-1; 2; -1), С(-1; -2; -3)

Answer 1

Найдите внешний угол при вершине С треугольника ABC, если известны координаты трех его вершин А(1; -2; -1), В(-1; 2; -1), С(-1; -2; -3)

Объяснение:

Найдем ∠АСВ  .Тогда внешний угол α=180°-∠АСВ. Угол найдем  через скалярное произведение векторов :     cos(∠ACB)=$\frac{CB*CA}{|CB|*|CA|}$ .

Найдем координаты и длину векторов  $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$

$\vec{CB}$(0;4;2)   , $|\vec{CB}|=\sqrt{(0+4^{2} +2^2)} =$ √20,

$\vec{CA}$(2;0;2)   , $|\vec{CA}|=\sqrt{(2^2+0^{2} +2^2}) =$ √8 .

cos(∠ACB)=$\frac{0*2+4*0+2*2}{\sqrt{20}*\sqrt{8} }$ =  $\frac{4}{ \sqrt{160} }$ = $\frac{1}{\sqrt{10} }$   ⇒  ∠ACB=  arccos $\frac{1}{\sqrt{10} }$ .

Внешний угол α=180°-∠АСВ=180°-arccos $\frac{1}{\sqrt{10} }$ .

Answer 2

Для того щоб знайти зовнішній кут при вершині С трикутника ABC, нам потрібно визначити вектори AB і AC, а потім знайти кут між ними.

1. Обчислимо вектори AB і AC: Вектор AB = B - A = (-1 - 1; 2 - (-2); -1 - (-1)) = (-2; 4; -1) Вектор AC = C - A = (-1 - 1; -2 - (-2); -3 - (-1)) = (-2; -4; -2)

2. Обчислимо скалярний добуток векторів AB і AC: AB · AC = (-2) * (-2) + 4 * (-4) + (-1) * (-2) = 4 - 16 + 2 = -10

3. Знаходимо довжини векторів AB і AC: |AB| = √((-2)^2 + 4^2 + (-1)^2) = √(4 + 16 + 1) = √21 |AC| = √((-2)^2 + (-4)^2 + (-2)^2) = √(4 + 16 + 4) = √24

4. Знаходимо кут між векторами за допомогою формули для скалярного добутку векторів: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) θ = arccos((-10) / (√21 * √24))

5. Обчислюємо значення кута θ (в радіанах) і переводимо його у градуси: θ ≈ 2.266 radians θ ≈ 130.01 degrees

Таким чином, зовнішній кут при вершині С трикутника ABC дорівнює приблизно 130.01 градусів.