Question

Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов ра-вен 45°.​

Answer 1

Ответ:

∠ЕАК=∠2+∠3=45°

Объяснение:

Дано: ∠ВАС-прямой

АМ - биссектриса ∠ВАС

АЕ - биссектриса ∠ВАМ

АК - биссектриса ∠МАС

_______________________

Доказать: ∠ЕАК=45°

Доказательство:

∠ВАС=∠1+∠2+∠3+∠4=90°

∠1=∠2 (АЕ - биссектриса ∠ВАМ)

∠4=∠3 (АК - биссектриса ∠МАС)

_______________________

⇒ ∠1+∠4=∠2+∠3=90°:2=45°

∠ЕАК=∠2+∠3=45°

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где C - вершина прямого угла, а отрезок CA - луч, проведенный из вершины C. Пусть этот луч пересекает сторону AB в точке D. Теперь у нас есть два угла: угол CAD и угол DAB, которые образованы лучом CA.

1. Поскольку угол CAD является биссектрисой угла C, то он делит угол C на два равных угла. То есть угол CAD равен углу DAC.

2. Рассмотрим треугольник CAD. Так как угол CAD равен углу DAC, то этот треугольник равнобедренный (два равных угла и две равные стороны).

3. Это означает, что сторона CD равна стороне AD: CD = AD.

4. Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две равные стороны: CD = AD, и угол DAB (который равен углу CAD) равен углу DAC.

5. Из условия равнобедренности треугольника CAD и равенства углов DAB и DAC следует, что треугольник ABD также равнобедренный.

6. В равнобедренном треугольнике угол при основании (в данном случае угол ABD) равен половине верхнего угла (в данном случае угол CAD).

7. Поскольку угол CAD равен 90° (прямой угол), то угол ABD равен половине этого угла, то есть 45°.

Таким образом, угол между биссектрисами образовавшихся углов (угол ABD и угол CAD) действительно равен 45°.