Question

биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника разделяет гипотенузу на отрезки 3 и 4 см, найдете площадь квадрата стороной которого является биссектриса​

Answer 1

Площадь прямоугольного треугольника равна:
S=0.5*BC*AC
2) Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
frac{AC}{AK}= frac{CB}{BK}
frac{AC}{3}= frac{CB}{4}
AC= frac{3}{4}*CB
3) По теореме Пифагора:
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}
AB=3+4=7
(frac{3}{4}*BC)^{2}+BC^{2}=49
frac{9}{16}*BC^{2}+BC^{2}=49
frac{25}{16}*BC^{2}=49
BC^{2}=frac{49*16}{25}
BC>0
BC= sqrt{frac{49*16}{25}}=frac{7*4}{5}=frac{28}{5}=5frac{3}{5}=5.6
AC= frac{3}{4}* frac{28}{5}=frac{21}{5}=4.2
4) S=frac{1}{2}*frac{21}{5}*frac{27}{5}=frac{21*27}{50}=frac{567}{50}=11.34 - ответ

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

• Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов.
• Пусть точка D на гипотенузе AC обозначает точку пересечения биссектрисы угла B с гипотенузой AC.
• Также пусть BD = 3 см, а CD = 4 см.

Мы знаем, что биссектриса угла B делит противолежащий угол B напополам, а также делит противолежащую сторону AC пропорционально ближайшим отрезкам на гипотенузе. Из этой информации мы можем записать:

AD / BD = CD / AD

Подставляя известные значения, получаем:

AD / 3 = 4 / AD

Теперь можно решить это уравнение относительно AD:

AD^2 = 3 * 4 AD^2 = 12 AD = √12 AD = 2√3 см

Теперь у нас есть длина отрезка AD, который представляет собой одну из сторон квадрата. Площадь квадрата можно вычислить, возводя эту длину в квадрат:

Площадь квадрата = (2√3)^2 = 4 * 3 = 12 кв. см

Итак, площадь квадрата со стороной, равной биссектрисе прямого угла треугольника, составляет 12 квадратных сантиметров.

Answer 3

Давайте рассмотрим данный вопрос. Для начала, давайте обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как $c$, а катеты как $a$ и $b$, таким образом, $a = 3$ см, $b = 4$ см.

Так как биссектриса прямого угла делит гипотенузу на два отрезка, пропорциональных катетам, мы можем записать следующее:

$\frac{c_1}{a} = \frac{c_2}{b}$,

где $c_1$ и $c_2$ - длины отрезков гипотенузы, образованных биссектрисой.

Подставляя известные значения, получим:

$\frac{c_1}{3} = \frac{c_2}{4}$.

Отсюда можно выразить $c_1$ через $c_2$:

$c_1 = \frac{3}{4}c_2$.

Сумма длин отрезков гипотенузы равна длине гипотенузы, то есть $c_1 + c_2 = c$. Подставляя значение $c_1$ из предыдущего уравнения, получим:

$\frac{3}{4}c_2 + c_2 = c$, $\frac{7}{4}c_2 = c$, $c_2 = \frac{4}{7}c$.

Теперь мы можем выразить $c_1$ через $c$:

$c_1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7}c = \frac{3}{7}c$.

Теперь, используя теорему Пифагора для меньших прямоугольных треугольников, можем найти длину гипотенузы:

$c^2 = c_1^2 + c_2^2 = \left(\frac{3}{7}c\right)^2 + \left(\frac{4}{7}c\right)^2 = \frac{9c^2}{49} + \frac{16c^2}{49} = \frac{25c^2}{49}$.

Отсюда:

$c^2 = \frac{49}{25} \cdot \frac{25c^2}{49}$, $c^2 = c^2$.

Это подтверждает правильность наших вычислений.

Теперь, чтобы найти площадь квадрата, стороной которого является биссектриса, мы просто возведем длину биссектрисы в квадрат:

Площадь квадрата $S_{\text{кв}} = c_2^2 = \left(\frac{4}{7}c\right)^2 = \frac{16}{49}c^2$.

Итак, площадь квадрата равна $\frac{16}{49}$ от площади меньшего из двух катетов.