Question

Дан прямой цилиндр с радиусом круга 3 и высотой 4. Найдите объем и площадь боковой поверхности вписанного в этот цилиндр прямого конуса (вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра). Ответы разделите на π и округлите до сотых, при необходимости. Объем конуса: Площадь боковой поверхности:

Answer 1

Дан прямой цилиндр с радиусом круга 3 и высотой 4.  Найдите V и

S( бок.поверхности) , вписанного в этот цилиндр прямого конуса (вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра).

Ответы разделите на π и округлите до сотых, при необходимости.

Объяснение:

Если конус вписан в цилиндр , то основания совпадают,

поэтому  r( конуса)=3.

Т.к. вершина конуса находится в центре верхнего основания цилиндра , то h( цилиндра)=h( конуса)=4.

V(конуса )=1/3*S(осн)*h ,  V(конуса)=1/3*(π*3²)*4=12π .

S(бок.конуса )=  π * r* L . Найдем L из прямоугольного ΔАВС по

т. Пифагора L= √( 3³+4²)=√25=5.

S(бок.конуса )=π*3*5=15π.

Ответ :  V(конуса)/π=12  ед³   ,    S(бок.конуса )/π=15 ед².

Answer 2

Объем вписанного конуса можно найти по формуле для объема конуса:

$V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{конуса}}^2 h_{\text{конуса}}$

Где $r_{\text{конуса}}$ - радиус основания конуса, а $h_{\text{конуса}}$ - высота конуса.

В данном случае, радиус основания конуса равен радиусу круга цилиндра, то есть $r_{\text{конуса}} = 3$, а высота конуса равна высоте цилиндра, то есть $h_{\text{конуса}} = 4$.

Подставляя значения в формулу:

$V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$

Теперь найдем площадь боковой поверхности вписанного конуса. Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

$S_{\text{бок}} = \pi r_{\text{конуса}} l_{\text{конуса}}$

Где $l_{\text{конуса}}$ - образующая конуса.

Для нахождения образующей конуса, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом круга цилиндра, половиной высоты цилиндра и образующей конуса:

$(l_{\text{конуса}})^2 = (r_{\text{конуса}})^2 + (h_{\text{конуса}} / 2)^2$

$(l_{\text{конуса}})^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$l_{\text{конуса}} = \sqrt{13}$

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{13}$

Таким образом, ответы:

Объем конуса: $V_{\text{конуса}} = 12\pi$

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 3\pi\sqrt{13}$, что примерно равно 57.52 (округлено до сотых).