Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ ОЧЕНЬ СРОЧНО 4. В параллелограмме TFVP диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникABCD, вершинами которого являются середины отрезков OT, OF, OV и OP – параллелограмм.[4]​

Answer 1

АВ, ВС, CD и AD - средние линии треугольников TOF, FOV, VOP и TOP соответственно. Следовательно, АВ = TF/2, CD=VP/2  =>

АВ║CD и AB = CD, так как TF = VP (противоположные стороны параллелограмма).

По признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм".

Четырехугольник АВСD - параллелограмм.

ЧТД.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны.

Дано: Параллелограмм TFVP с диагоналями TO и FP, пересекающимися в точке О.

Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. В данном случае, стороны TF и VP параллельны, и стороны TP и VF параллельны.

Также, по определению параллелограмма, диагонали TO и FP делятся пополам точкой пересечения О.

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OT, OF, OV и OP. Пусть E - середина отрезка TO, G - середина отрезка FP, H - середина отрезка VF, и I - середина отрезка OP.

Так как E - середина TO и G - середина FP, то по свойству серединного перпендикуляра EG || TF и EG = 0.5 * TF.

Аналогично, HI || VF и HI = 0.5 * VF.

Теперь, так как EG || TF и HI || VF, и EF и HG - это две параллельные прямые, пересекающиеся с третьей параллельной прямой TO, то по теореме о пересечении параллельных прямых EG и HI тоже параллельны TO.

Итак, мы получили, что EG и HI параллельны TO, и EG = 0.5 * TF, HI = 0.5 * VF. Так как EG и HI параллельны и имеют равные длины, то EHIG - параллелограмм.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник EHIG (ABCD) - параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны и равны, что и требовалось доказать.