Question

Используя смешенное и векторное произведение вычислите V, Sоснования и H треугольной призмы ABCDA1B1C1D1 если А(2;-1;2) В(1;3;4) С(6;0;1) А1(4;2;0). Объём нашла

Answer 1

Даны вершины призмы А(2;-1;2) В(1;3;4) С(6;0;1) А1(4;2;0).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Находим векторы. Точки А(2;-1;2) и В(1;3;4). АВ = (-1; 4; 2).

Точки  А(2;-1;2) и С(6;0;1). АС = (4; 1; -1).

Находим их векторное произведение.

  i         j        k|       i          j

-1        4        2|      -1        4

4        1         -1|       4        1  =  -4i + 8j  - 1k -1j  - 2i  - 16k =

                                                -6i + 7j - 17k.

Результатом векторного произведения является вектор n = (-6; 7; -17) - это нормальный вектор плоскости АВС.

Площадь S = (1/2)√(36 + 49 + 289) = (1/2)√374 =

                   = 19,33907961 / 2 = 9,66954 кв.ед.

Находим вектор АА1. Точки А(2;-1;2) и А1(4;2;0). АА1= (2; 3; -2).

Объём треугольной призмы, построенной на трех векторах равен половине модуля смешанного произведения векторов. Формула имеет вид:

Vтреугольной призмы=  (1/2) ⋅|аbс|.

Находим смешанное произведение (АВхАС)*АА1.

    n = (-6; 7; -17)

АА1= (2; 3; -2)  

       -12 + 21 + 34 = 43.

Объём призмы V = (1/2)*43 = 21,5 куб.ед.

Высоту определим из формулы объёма призмы V = SoH.

Высота Н = V/So = (43/2)*/((1/2)√374) = 43√374/374 ≈ 2,22348.

Answer 2

Давайте начнем с вычисления векторов, определяющих стороны и высоту призмы:

Вектор AB = B - A = (1 - 2, 3 - (-1), 4 - 2) = (-1, 4, 2) Вектор AC = C - A = (6 - 2, 0 - (-1), 1 - 2) = (4, 1, -1) Вектор AA1 = A1 - A = (4 - 2, 2 - (-1), 0 - 2) = (2, 3, -2)

Теперь можно вычислить смешенное произведение векторов AB, AC и AA1:

V = AB × AC = |i j k | |-1 4 2 | |4 1 -1 |

V = (4 - 2) * (-1) - (2 - 1) * (2) + (-1 - 16) * (4) V = 2 * (-1) - 1 * 2 + (-17) * 4 V = -2 - 2 - 68 V = -72

Следующим шагом является вычисление площади боковой поверхности (S) и высоты (H) призмы. Для этого мы можем использовать найденное смешенное произведение и длину вектора AA1:

S = |V| / |AA1| S = |-72| / √(2^2 + 3^2 + (-2)^2) S = 72 / √17

Так как объем (V) призмы уже известен, можно использовать формулу объема призмы:

V = S * H

Решим данное уравнение относительно высоты (H):

H = V / S

Подставим значения и вычислим H:

H = (-72) / (72 / √17) = -√17

Итак, результаты вычислений:

Объем (V) = -72 Площадь боковой поверхности (S) = 72 / √17 Высота (H) = -√17

Пожалуйста, обратите внимание на возможные ошибки в вычислениях, так как они могли быть допущены при расчетах на бумаге.