Question

Знайти площу квадрата, якщо його сторони лежать на паралельних прямих 4x-3y-12=0 та 4x-3y+20=0.

Answer 1

Найти расстояние между прямыми L1 и L2

L1:   4x-3y-12=0.

L2: 4x-3y+20=0.  

Решение.

Прямая L1 имеет свободный член C1=-12 и направляющий вектор

n1={-В1, А1}={3; 4}.  

Прямая L2 имеет свободный член C2=20 и направляющий вектор

n2={-В2, А2}={3; 4}.  

Так как нормальные векторы прямых L1 и L2 совпадают, то расстояние между ними можно вычислить формулой:

d  =  | C 1  − C 2 |  / √(A ² + B²).                                                        (1)

Подставим значения A1, B1, C1, C2 в (1):

d = | − 12 − 20 |  / (√ ( 4  ² +(-3) ²)  = 35/5 =  6,4

Ответ:  

Расстояние между прямыми равно d=6,4.

Answer 2

Для знаходження площі квадрата, якщо його сторони лежать на паралельних прямих, необхідно знайти відстань між цими прямими.

Спочатку перепишемо рівняння прямих у вигляді 4x - 3y = 12 та 4x - 3y = -20, щоб отримати їх в канонічній формі.

Рівняння 4x - 3y = 12 можна переписати у вигляді y = (4/3)x - 4.

Рівняння 4x - 3y = -20 можна переписати у вигляді y = (4/3)x + 20/3.

Тепер ми можемо знайти відстань між цими прямими за допомогою формули:

Відстань = |b1 - b2| / √(a^2 + b^2),

де a та b - коефіцієнти при x та y у рівняннях прямих, b1 та b2 - вільні члени у рівняннях прямих.

Для першої прямої: a1 = 4/3, b1 = -4.

Для другої прямої: a2 = 4/3, b2 = 20/3.

Відстань = |(-4) - (20/3)| / √((4/3)^2 + (4/3)^2) = |-4 - 20/3| / √(16/9 + 16/9) = |-12/3 - 20/3| / √(32/9) = |-32/3| / (4/3) = 32/4 = 8.

Таким чином, відстань між цими прямими дорівнює 8 одиницям.

Оскільки сторони квадрата паралельні прямим, то сторони квадрата мають таку саму відстань між собою. Тому, площа квадрата дорівнює квадрату відстані між прямими.

Площа квадрата = (Відстань)^2 = 8^2 = 64.

Таким чином, площа квадрата дорівнює 64 квадратним одиницям.