Question

Составьте уравнение окружности: а) с диаметром АВ,если А(-1;5),В(5;-3); б) описанной около равностороннего треугольника с точкой пересечения медиан (-4;9) и периметром 6 корней из 3 в) вписанной в квадрат ABCD ,если А(-1;-3) В(-1;-1) С(1;-1) D(1;-3)

Answer 1

Ответ:

a) (x-2)²+(y-1)²=25

b) (x+4)²+(y-9)²=4

c)  x²+(y+2)²=4

Объяснение:

a) Общая формула окружности

(x-a)² + (y-b)² =R²    (1),  где  a и b соответственно абсцисса и ордината центра окружности, а R - радиус окружности.

Очевидно, что центр окружности О находится точно в середине отрезка АВ.  Найдем координаты О.

=((Ха+Xb)/2 ;  (Ya+Yb)/2) = ( (-1+5)/2; ((-3)+5)/2)= (2;1)

Очевидно , что радиус окружности равен половине длины отрезка АВ,  так как АВ в данном случае является диаметром окружности.

Найдем АВ = sqrt ( (Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²) = sqrt ((5-(-1))²+ (-3-5)²)=

sqrt(36+64)=10

=> R=AB/2=10/2=5  

Подставляем найденные координаты точки О и значение радиуса R=5

в уравнение (1) .  Получим:

(x-2)²+(y-1)²=25

b) Здесь координаты центра описанной окружности уже известны, так как центром описанной окружности в равностороннем треугольнике будет являться точка пересечения его медиан О (-4;9)

Длина радиуса же  равна 2/3  длины медианы.

Найдем медиану:

Длина стороны : Р:3= 6√3/3=2√3

Тогда длина медианы = 2√3*cos 60° = 2√3*√3/2=3

Тогда 2/3 медианы или радиус описанной окружности равен :

R=2/3*3=2

Подставляем найденные координаты точки О и значение радиуса R=2

в уравнение (1) .  Получим:

(x+4)²+(y-9)²=4

c) Центр вписанной в квадрат окружности находится на пересечения диагоналей квадрата, которые точкой пересечения делятся пополам.

Значит нужно найти координаты точки, являющейся серединой диагонали квадрата. Мы используем диагональ АС.

Тогда координаты точки О находим по формуле:

=((Ха+Xс)/2 ;  (Ya+Yс)/2) = ( (-1+1)/2; ((-3)+(-1)))/2)= (0;-2)

Радиус вписанной в квадрат окружности будет равен половине его стороны ( возьмем сторону АВ)

АВ= sqrt ( (Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²) = sqrt ((-1-(-1))²+ (-1-(-3)²)=

=sqrt(0+16)=4

=>R=AB/2= 4/2=2

Подставляем найденные координаты точки О и значение радиуса R=2   в уравнение (1) .  Получим:

x²+(y+2)²=4

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вариантов по порядку:

а) Для уравнения окружности с диаметром AB, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения окружности по двум точкам - концам диаметра. Уравнение окружности имеет вид:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$,

где (h, k) - координаты центра окружности, а $r$ - радиус окружности.

Диаметр AB можно найти, используя расстояние между двуми точками:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Для точек A(-1, 5) и B(5, -3):

$d = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Так как диаметр - это двукратный радиус, $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Центр окружности будет находиться посередине между A и B:

$h = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$,

$k = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$.

Таким образом, уравнение окружности будет:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2$.

б) Для описанной около равностороннего треугольника окружности, радиус можно найти, используя формулу для радиуса описанной окружности в равностороннем треугольнике:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$,

где $a$ - длина стороны равностороннего треугольника.

Периметр треугольника составляет 6 корней из 3, что означает, что длина каждой стороны равна $2 \sqrt{3}$.

$a = 2 \sqrt{3}$.

Теперь, радиус описанной окружности:

$R = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$.

Уравнение окружности с центром в точке пересечения медиан (-4, 9) и радиусом 2:

$(x + 4)^2 + (y - 9)^2 = 2^2$.

в) Для вписанной в квадрат окружности, радиус будет половиной длины стороны квадрата.

Длина стороны квадрата AB можно найти, используя координаты точек A и B:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2 \sqrt{2}$