Question

Простейшие задачи в координатах Вариант 20 Дано:А(-3; 9), В(-4; -8), С(6; 0) Найти: а)координаты вектора АС; б)длину вектора ВС; в)координаты середины отрезка АВ: г)периметр треугольника АВС; д)длину медианы СМ.

Answer 1

Дано: А(-3; 9), В(-4; -8), С(6; 0)

Найти:

а)координаты вектора АС;

б)длину вектора ВС;

в)координаты середины отрезка АВ:

г)периметр треугольника АВС;

д)длину медианы СМ.

Решение:

a) AC = {Cx - Ax ; Cy - Ay}

AC = {6 - (-3) ; 0 - 9}

AC ={9 ; -9}

б) BC = {Cx - Bx ; Cy - By}

BC = {6 - (-4); 0 - (-8)}

BC = {10 ; 8}

|BC| = $\sqrt{10^2 + 8^2}$ = $\sqrt{36}$ = 6

в) Пусть это будет точка M, тогда её координаты будут равны

M((Ax + Bx)/2 ; (Ay + By)/2)

M((-3 + -4)/2 ; (9 + 8)/2)

M(-3,5 ; 8,5)

г) Посчитаем длину каждой стороны треугольника

AB = $\sqrt{(Ax - Bx)^2 + (Ay - By)^2}$ = $\sqrt{1^2 + 17^2}$ = $\sqrt{290}$

AC = $\sqrt{(Ax - Cx)^2 + (Ay - Cy)^2}$ = $\sqrt{9^2 + 9^2}$ = $\sqrt{162}$

$P_{ABC} = AB + BC + AC = \sqrt{290} + 6 + \sqrt{162}$

д) СМ = $\sqrt{(Cx - Mx)^2 + (Cy - My)^2}$ =  $\sqrt{9,5^2 + 8,5^2}$ = $\sqrt{162,5}$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые основы аналитической геометрии.

а) Координаты вектора АС можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

Вектор АС = (x_с - x_а, y_с - y_а) = (6 - (-3), 0 - 9) = (9, -9)

б) Длина вектора ВС вычисляется по формуле длины вектора:

Длина ВС = √((x_с - x_в)^2 + (y_с - y_в)^2) = √((6 - (-4))^2 + (0 - (-8))^2) = √((10)^2 + (8)^2) = √(100 + 64) = √164 ≈ 12.81

в) Координаты середины отрезка АВ можно найти, используя средние значения координат точек A и B:

Середина АВ = ((x_а + x_в)/2, (y_а + y_в)/2) = ((-3 - 4)/2, (9 - 8)/2) = (-7/2, 1/2)

г) Периметр треугольника АВС можно найти, вычислив сумму длин его сторон:

Периметр АВС = Длина АВ + Длина ВС + Длина СА = √((-3 - (-4))^2 + (9 - (-8))^2) + √164 + √(9^2 + (-9)^2) = √(1^2 + 17^2) + √164 + √(81 + 81) = √290 + √164 + √162 ≈ 17.03 + 12.81 + 12.73 ≈ 42.57

д) Длина медианы СМ можно найти, используя формулу для медианы треугольника, которая гласит, что длина медианы, проведенной из вершины треугольника, равна половине длины отрезка, соединяющего эту вершину с серединой противоположной стороны.

Длина СМ = (1/2) * Длина ВС ≈ (1/2) * 12.81 ≈ 6.40

Итак, ответы: а) Координаты вектора АС: (9, -9) б) Длина вектора ВС: ≈ 12.81 в) Координаты середины отрезка АВ: (-7/2, 1/2) г) Периметр треугольника АВС: ≈ 42.57 д) Длина медианы СМ: ≈ 6.40