Question

Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.

Answer 1

Дано:

Вершины трапеции

А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3)

МК - средняя линия

Найти:

Уравнение средней линии МК

Решение:

Составим уравнение прямой АВ

$\dfrac{x - x_A}{x_B - x_A} = \dfrac{y - y_A}{y_B - y_A} = \dfrac{z - z_A}{z_B - z_A}$

$\dfrac{x - 3}{1 - 3} = \dfrac{y +1}{2+1} = \dfrac{z - z_A}{-1 - 2}$

$\dfrac{x - 3}{ - 2} = \dfrac{y +1}{3} = \dfrac{z - z_A}{-3}$

Таким образом, направляющий вектор прямой АВ

$\overline p(-2;3;-3)$

Проекции боковой стороны ВС на координатные оси равны

$BC_x = x_C - x_B = -1 - 1 = -2$

$BC_y = y_C - y_B = 1 - 2 = -1$

$BC_z = z_C - z_B = -3 + 1 = -2$

Найдём координаты точки К, принадлежащей боковой стороне ВС трапеции и, одновременно, средней линии.

$x_K = x_B + 0.5BC_x = 1 + 0.5 \cdot (-2) = 0$

$y_K = y_B + 0.5BC_y = 2 + 0.5 \cdot (-1) = 1.5$

$z_K = z_B + 0.5BC_z = -1 + 0.5 \cdot (-2) = -2$

Уравнение прямой МК, параллельной прямой АВ, то есть имеющей направляющий вектор $\overline p$ и проходящей через точку К

$\dfrac{x - x_K}{p_x} = \dfrac{y - y_K}{p_y} = \dfrac{z - z_K}{p_z}$

$\dfrac{x }{-2} = \dfrac{y - 1.5}{3} = \dfrac{z+2}{-3}$

Ответ:

Уравнение средней линии трапеции

$\dfrac{x }{-2} = \dfrac{y - 1.5}{3} = \dfrac{z+2}{-3}$

Answer 2

Средняя линия трапеции соединяет средние точки её параллельных сторон. В данном случае, параллельные стороны - это сторона АВ и сторона СD. Так как сторона АВ уже задана точками А(3, -1, 2) и В(1, 2, -1), нам нужно найти точки D, которая лежит на стороне СD, и B', которая будет серединой стороны АВ.

Сначала найдем координаты точки B', которая будет серединой стороны АВ. Для этого найдем средние значения координат:

x_B' = (x_A + x_B) / 2 = (3 + 1) / 2 = 2 / 2 = 1, y_B' = (y_A + y_B) / 2 = (-1 + 2) / 2 = 1 / 2 = 0.5, z_B' = (z_A + z_B) / 2 = (2 - 1) / 2 = 1 / 2 = 0.5.

Таким образом, координаты точки B' равны (1, 0.5, 0.5).

Теперь нам нужно найти координаты точки D, которая лежит на стороне СD и параллельна стороне АВ. Мы знаем, что векторы AB и CD параллельны, поэтому их координаты имеют одинаковое отношение:

(x_D - x_C) / (x_B - x_A) = (y_D - y_C) / (y_B - y_A) = (z_D - z_C) / (z_B - z_A).

Подставим известные значения:

(x_D - (-1)) / (1 - 3) = (y_D - 1) / (0.5 - (-1)) = (z_D - (-3)) / (0.5 - 2).

Упростим уравнения:

(x_D + 1) / (-2) = (y_D - 1) / 1.5 = (z_D + 3) / (-1.5).

Отсюда можно выразить x_D, y_D и z_D:

x_D = -2 - (1/2) * y_D, y_D = 1 + 1.5 * (x_D + 2), z_D = -1.5 - 1.5 * (x_D + 2).

Теперь у нас есть координаты точки D: (x_D, y_D, z_D).

Таким образом, средняя линия трапеции проходит через точки B' (1, 0.5, 0.5) и D (x_D, y_D, z_D). Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:

x = t, y = 0.5 + 1.5 * (t + 2), z = 0.5 - 1.5 * (t + 2).

где t - параметр, описывающий точки на линии.