Question

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC . Расстояния от точки 0 до точки А и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

Ответ:

720

Объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

1. $AO = 13$ (расстояние от центра окружности до точки $A$).
2. $OD = 7$ (расстояние от центра окружности до прямой $AD$).
3. $OC = 5$ (расстояние от центра окружности до прямой $AC$).

Так как $OD$ и $OC$ являются радиусами окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а $AO$ - это радиус окружности, вписанной в треугольник $ADC$, то можно использовать следующие свойства:

1. Площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S_{ABC} = r_{ABC} \cdot p_{ABC}$, где $r_{ABC}$ - радиус вписанной окружности для треугольника $ABC$, $p_{ABC}$ - полупериметр треугольника $ABC$.

2. Площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S_{ADC} = r_{ADC} \cdot p_{ADC}$, где $r_{ADC}$ - радиус вписанной окружности для треугольника $ADC$, $p_{ADC}$ - полупериметр треугольника $ADC$.

3. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABC$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC}$.

Теперь давайте найдем радиусы вписанных окружностей и полупериметры для треугольников $ABC$ и $ADC$:

Для треугольника $ABC$:

Полупериметр: $p_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{AD + DC + AC}{2}$ $p_{ABC} = \frac{13 + 7 + 5}{2} = 12$

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности для треугольника $ABC$ с использованием формулы $S_{ABC} = r_{ABC} \cdot p_{ABC}$ и площади треугольника $ADC$:

$S_{ABC} = r_{ABC} \cdot 12$ $r_{ABC} = \frac{S_{ABC}}{12}$

Для треугольника $ADC$:

Полупериметр: $p_{ADC} = \frac{AD + DC + AC}{2} = \frac{13 + 7 + 5}{2} = 12$

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности для треугольника $ADC$ с использованием формулы $S_{ADC} = r_{ADC} \cdot p_{ADC}$ и площади треугольника $ADC$:

$S_{ADC} = r_{ADC} \cdot 12$ $r_{ADC} = \frac{S_{ADC}}{12}$

Теперь, когда у нас есть радиусы вписанных окружностей для обоих треугольников, мы можем найти площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = r_{ABC} \cdot 12 = \frac{S_{ABC}}{12} \cdot 12 = S_{ABC}$