Question

В параллелограмме провели биссектрисы всех четырёх углов. Докажите что если точки пересечения этих биссектрис являются вершинами четырехугольника. То этот четырехугольник является прямоугольником. Каким должен быть исходный параллелограмм, чтобы четырехугольника не получилось?

Answer 1

Ответ:

А)Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180o. Следовательно, биссектрисы этих углов пересекаются под прямым углом.

Это утверждение верно также для биссектрис внешних углов.

Б) Паралелограмм должен быть ткаим, чтобы его биссектрисы полностью совпадали.

Объяснение:

Answer 2

Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, в котором проведены биссектрисы углов. Обозначим точки пересечения биссектрис как P, Q, R и S, как показано ниже:

cssCopy code
   P-------Q
  /         \
 /           \
A-------------B
 \           /
  \         /
   R-------S

Для доказательства того, что четырехугольник PQRS - прямоугольник, мы можем воспользоваться свойством биссектрис углов. Каждая биссектриса делит соответствующий угол пополам и перпендикулярна стороне параллелограмма, на которой она лежит.

Рассмотрим угол B. Его биссектриса проходит через точки Q и S, и она перпендикулярна стороне AB. Рассмотрим также угол C. Его биссектриса проходит через точки R и Q, и она перпендикулярна стороне BC.

Из этого следует, что сторона BC параллельна стороне AB и перпендикулярна стороне CD. Таким образом, BC должна быть высотой параллелограмма, а следовательно, угол B и угол C прямые углы.

Аналогично, можно показать, что и угол A, и угол D также будут прямыми углами. Таким образом, четырехугольник PQRS является прямоугольником.

Чтобы получить четырехугольник, который не является прямоугольником, исходный параллелограмм должен быть любым параллелограммом, но не квадратом и не ромбом. В случае, если начальный параллелограмм - квадрат или ромб, то его углы уже сами по себе являются прямыми, и биссектрисы углов также будут пересекаться в прямоугольнике. Но если начальный параллелограмм имеет разные углы и стороны, то можно настроить его так, чтобы биссектрисы углов не образовывали прямоугольник.