Question

СРОЧНО! ДАЮ 35 БАЛЛОВ! Пусть О-центр описанной около треугольника ABC окружности, A1-основание высоты, проведенной к стороне BC. Докажите что биссектриса угла A является также биссектрисой угла А1АО. ​

Answer 1

OE - перпендикуляр к AB.

Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду и дугу пополам.

(Треугольник AOB - равнобедренный, OE - высота, медиана и биссектриса.)

∠O =∪AB/2 =∠C => ∠OAB=∠CAA1 => ∠A1AD=∠OAD

Answer 2

Обозначим точки следующим образом:

• $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$.
• $A$, $B$, $C$ - вершины треугольника $ABC$.
• $A_1$ - основание высоты, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.
• $I$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
• $D$ - точка касания вписанной окружности с $BC$.
• $E$ - точка пересечения биссектрисы угла $A$ с $BC$.
• $F$ - точка пересечения биссектрисы угла $A_1AO$ с $BC$.

Мы хотим доказать, что биссектриса угла $A$ также является биссектрисой угла $A_1AO$.

Сначала рассмотрим биссектрису угла $A$. По свойству биссектрисы угла, точка $E$ делит сторону $BC$ в отношении длин $CE : EB = AC : AB$.

Теперь давайте рассмотрим биссектрису угла $A_1AO$. Обратите внимание, что треугольник $A_1IO$ является прямоугольным (по свойству вписанной окружности), и мы знаем, что $A_1D$ - это высота этого треугольника, проведенная к гипотенузе $IO$.

Так как треугольники $A_1IO$ и $ABC$ подобны (по углам, так как оба угла при вершине $A$ являются прямыми), мы можем записать следующее отношение длин:

$\frac{A_1D}{IO} = \frac{A_1A}{AC}$.

Так как $IO$ - это радиус вписанной окружности, а $A_1D$ делит $BC$ в том же отношении, что и биссектриса угла $A$, мы можем записать:

$\frac{A_1D}{r} = \frac{A_1A}{AC}$,

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Теперь, если мы объединим предыдущее равенство с равенством для биссектрисы угла $A$, получим:

$\frac{A_1A}{AC} = \frac{CE}{EB}$.

Это означает, что точки $A_1$, $E$ и $C$ лежат на одной прямой, что подразумевает, что биссектриса угла $A$ также является биссектрисой угла $A_1AO$.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса угла $A$ также является биссектрисой угла $A_1AO$.