Question

Среди всех точек гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC рассматривается такая точка M, что длина отрезка PK минимально возможна, где P и K – проекции точки M на катеты. Найдите |BC|², если AC=√10, PK=3.

Answer 1

Ответ:

|BC|² = 90

Объяснение:

PCKM - прямоугольник, поэтому PK = MC. Наименьшее расстояние CM (от точки C до прямой AB) - перпендикуляр из C на AB. По теореме Пифагора для ΔCAM, AM = √(10-9) = 1

ΔCAM подобен ΔBAC по 3 углам, поэтому AM/CM = AC/BC ⇒ 1/3 = √10/BC ⇒ BC = 3√10, |BC|² = 90

Answer 2

Для нахождения длины гипотенузы BC вам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Для начала, мы можем найти отношение длин катетов к гипотенузе в треугольнике ABC. Пусть x обозначает длину катета AC, а y обозначает длину катета BC. Тогда, согласно теореме Пифагора:

x² + y² = AC² = 10

Теперь мы знаем, что PK = 3, и мы можем использовать подобные треугольники для нахождения отношения длины отрезка PK к длине гипотенузы BC. Треугольник MPK подобен треугольнику ABC, и отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению длин PK к BC:

PK / BC = MP / AC

3 / y = MP / √10

Теперь нам нужно найти длину отрезка MP. Для этого можно воспользоваться следующей связью: MP + PK = MC (где MC - длина гипотенузы внутри треугольника MPC). Так как MPK - подобный треугольник ABC, то MPK также подобен MPC. Поэтому:

MP + 3 = MC

Теперь нам нужно выразить MC через длину гипотенузы BC. Заметим, что треугольники MCB и ABC также подобны, поэтому:

MC / BC = MP / AC

MC / y = MP / √10

Теперь у нас есть два уравнения:

1. MP + 3 = MC
2. MC / y = MP / √10

Мы можем решить эту систему уравнений. Для начала выразим MP из уравнения (2):

MP = (√10 * MC) / y

Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

(√10 * MC) / y + 3 = MC

Теперь решим это уравнение относительно MC:

(√10 * MC) / y = MC - 3

√10 * MC = y * (MC - 3)

√10 * MC = y * MC - 3y

√10 * MC - y * MC = -3y

MC (√10 - y) = -3y

MC = (-3y) / (√10 - y)

Теперь у нас есть выражение для длины гипотенузы BC в терминах длины катета BC (y). Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение (2) и решить его:

((-3y) / (√10 - y)) / y = (√10 * MC) / √10

(-3) / (√10 - y) = MC

Теперь у нас есть выражение для длины гипотенузы MC через длину катета BC (y). Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение (1) и решить его:

((-3) / (√10 - y)) + 3 = (-3y) / (√10 - y)

Теперь давайте решим это уравнение:

(-3) + 3(√10 - y) = -3y

-3 + 3√10 - 3y = -3y

3√10 - 3 = 0

3(√10 - 1) = 0

√10 - 1 = 0

√10 = 1

Теперь у нас есть значение √10, и мы можем найти значение BC²:

BC² = x² + y² = 10 - y²

Мы знаем, что PK = 3, поэтому y² = 9. Теперь мы можем выразить BC²:

BC² = 10 - 9 = 1

Итак, |BC|² = 1.