Question

Какую наибольшую целочисленную длину может иметь высота треугольника, если две другие высоты равны 10 и 15?

Answer 1

Ответ:

29 см

Объяснение:

Дано: $BH_{2} = 15$ см, $CH_{3} = 10$ см, $AH_{1} \perp BC,$ $BH_{2} \perp AC$,$CH_{3} \perp AB$,$AH_{1} \in \mathbb N$

Найти: $max: AH_{1} -$ ?

Решение: Площадь треугольника равняется половине произведения высоты на сторону к которой она проведена. Составим системе уравнений, где выразим площадь треугольника через соответствующие стороны и высоты.

$\left \{\begin{array}{l} S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AH_{1} * BC}{2} \\ S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{BH_{2} * AC}{2} \\ S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{CH_{3} * AB}{2}\end{array} \right.$

Выразим из системы стороны треугольника через высоты и площадь.

$\left \{\begin{array}{l} S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AH_{1} * BC}{2} \\ S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{BH_{2} * AC}{2} \\ S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{CH_{3} * AB}{2}\end{array} \right. \bigg| * 2$  $\left \{\begin{array}{l} 2S_{\bigtriangleup ABC} = AH_{1} * BC} |:AH_{1} \\ 2S_{\bigtriangleup ABC} = BH_{2} * AC|:BH_{2} \\ 2S_{\bigtriangleup ABC} = CH_{3} * AB|:CH_{3}\end{array} \right.$

$\left \{\begin{array}{l} BC = \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{AH_{1}} \\ AC = \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{BH_{2}} \\ AB = \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}}\end{array} \right.$

Так как $AH_{1}$ - высота треугольника, то $AH_{1} > 0$.

Если треугольник существует, то выполняется неравенство треугольника и каждый треугольник имеет площадь.  

Неравенство треугольника для треугольника ΔABC:

$\left \{\begin{array}{l} AB < AC + CB \\ AC < AB + BC \\ BC < BA + AC\end{array} \right$ $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} < \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{BH_{2}} +\dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{AH_{1}} \\ \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{BH_{2}} < \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} +\dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{AH_{1}} \\ \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{AH_{1}} < \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} + \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{BH_{2}}\end{array} \right \bigg| : 2S_{\bigtriangleup ABC}$

$\left \{\begin{array}{l} \dfrac{1}{CH_{3}} < \dfrac{1}{BH_{2}} +\dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{BH_{2}} < \dfrac{1}{CH_{3}} +\dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}} < \dfrac{1}{CH_{3}} + \dfrac{1}{BH_{2}}\end{array} \right$  $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{15} +\dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{15} < \dfrac{1}{10} +\dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}} < \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15}\end{array} \right$  $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}} < \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15}\end{array} \right$

$\left \{\begin{array}{l} \dfrac{3 - 2}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{2 - 3}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}}$  $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{1}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ -\dfrac{1}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}}$ $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{1}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ -\dfrac{1}{30} < \dfrac{1}{AH_{1}} \\ \dfrac{1}{AH_{1}}$ $\left \{\begin{array}{l} \dfrac{AH_{1}}{30} < 1|*30\\ -\dfrac{AH_{1}}{30} < 1|*30\\ 1$

$\left \{\begin{array}{l} AH_{1} < 30\\ -AH_{1} < 30|*(-1)\\ 6$$\left \{\begin{array}{l} AH_{1} < 30\\ AH_{1} > -30\\ 6 0 \end{array} \right \Longrightarrow AH_{1} \in (6;30)$

Так как  $\left \{\begin{array}{l} AH_{1} \in \mathbb N \\ AH_{1} \in (6;30)\end{array} \right. \Longrightarrow max:AH_{1} = 29$ см.

Answer 2

Для нахождения наибольшей целочисленной длины третьей высоты треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины основания треугольника.

Пусть h1 = 10 и h2 = 15 - это две известные высоты треугольника. Давайте предположим, что основание треугольника, к которому прилегают эти высоты, имеет длину b.

Тогда по теореме Пифагора: b^2 = h1^2 + h2^2 b^2 = 10^2 + 15^2 b^2 = 100 + 225 b^2 = 325

Наибольшая целочисленная длина основания треугольника, которую мы можем получить, будет наименьшим целым числом, большим или равным квадратному корню из 325. Поскольку корень из 325 около 18.03, наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, - это 19.

Итак, наибольшую целочисленную длину третьей высоты можно найти, используя высоты 10 и 15, таким образом, основание треугольника будет иметь длину 19, и третья высота будет равной 19.