Question

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке Р. Докажите, что AP перпиндикулярно BC.

Answer 1

Ответ:Задание 7062

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке Р. Точка О – середина АР.

А) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

Б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что АМ = 3, ВМ = 9, АN = 4.

Ответ:

\frac{17\sqrt{2}}{16}

16

17

2

​

​

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства, что AP перпендикулярно BC, мы можем использовать свойства окружности и свойства треугольников.

1. Построим окружность с диаметром BC. Пусть O - это центр этой окружности, а радиус равен R (половина длины BC).

2. Поскольку BC - диаметр окружности, то угол BOC является прямым углом (BOC = 90 градусов).

3. Также известно, что угол, опирающийся на дугу BM окружности, равен половине этой дуги (так как угол в центре равен удвоенному углу, опирающемуся на дугу).

4. Аналогично, угол CON равен половине дуги CN.

5. Теперь обратим внимание на треугольник ABC. У нас есть два треугольника: треугольник BMO и треугольник CNO.

6. Из пункта 3 и 4 следует, что угол BMO равен углу CNO. Таким образом, треугольники BMO и CNO равны по углам.

7. Поскольку угол BOC прямой (BOC = 90 градусов) и угол BMO = CNO, то треугольники BMO и CNO подобны.

8. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники BPN и CPM. Они также подобны, так как имеют равные углы (BPN = CPM).

9. Из подобия треугольников BMO и CNO, а также треугольников BPN и CPM следует, что соответствующие стороны пропорциональны.

10. Поскольку BC - диаметр окружности, то BO = CO = R (радиус окружности).

11. Таким образом, BN = CM.

12. Теперь рассмотрим треугольник BMP. Поскольку BN = CM и угол BPN = CPM, то треугольник BMP подобен треугольнику MPC (по стороне-угол-стороне).

13. Из подобия треугольников BMP и MPC следует, что угол MPB = MPC.

14. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из пункта 6 мы знаем, что угол BMO = CNO. Из пункта 13 следует, что угол MPB = MPC.

15. Так как угол BMO = CNO и угол MPB = MPC, то угол BMP = CNP.

16. Рассмотрим треугольник AMP. У нас есть угол BMP = CNP и угол MPA = NPA (так как это углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MA окружности).

17. Теперь у нас есть два равных угла: угол BMP и угол CNP. Из этого следует, что треугольник AMP равнобедренный.

18. В равнобедренном треугольнике AMP медиана AP совпадает с высотой, опущенной из вершины A на основание MP.

19. Таким образом, AP перпендикулярно MP.

20. Но мы также знаем, что угол MPB = MPC (из пункта 14), и, следовательно, MP параллельно BC.

21. Поэтому AP перпендикулярно BC.

Таким образом, доказано, что AP перпендикулярно BC.