Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника =20см, гипотенуза =16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. ​

Answer 1

Ответ:

r=2

Объяснение:

Пусть 1 катет равен а, а другой b.

Тогда ( a+b)²= a²+b²+2ab=20²=400

Но по т. Пифагора известно, что a²+b²=16²=256

Тогда 256+2ab=400

2ab=144

ab=72

Тогда площадь всего треугольника равна S=ab/2=72/2=36

С другой стороны площадб треугольника равна S=p*r, p- полупериметр треугольника = (20+16):2=18

Итак 18*r=36

r=2

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в зависимости от полупериметра треугольника (p) и его площади (S). Формула выглядит следующим образом:

$r = \frac{S}{p},$

где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - полупериметр.

Сначала нам нужно найти площадь треугольника. Так как у нас есть данные о катетах и гипотенузе, мы можем использовать следующее соотношение:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2,$

где $\text{катет}_1$ и $\text{катет}_2$ - длины катетов треугольника.

У нас есть следующие данные: $\text{катет}_1 + \text{катет}_2 = 20$ см, $\text{гипотенуза} = 16$ см.

Мы можем использовать теорему Пифагора для выражения одного катета через другой:

$\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 = \text{гипотенуза}^2$.

Подставим значение гипотенузы:

$\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 = 16^2$, $\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 = 256$.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. $\text{катет}_1 + \text{катет}_2 = 20$,
2. $\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 = 256$.

Решение этой системы уравнений даст нам значения катетов. Затем мы сможем найти площадь и полупериметр треугольника, и, наконец, радиус вписанной окружности.

Попробуем решить эту систему уравнений:

Используем метод подстановки: из первого уравнения выразим, например, $\text{катет}_1$:

$\text{катет}_1 = 20 - \text{катет}_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(20 - \text{катет}_2)^2 + \text{катет}_2^2 = 256$.

Раскроем квадрат и упростим уравнение:

$400 - 40\text{катет}_2 + \text{катет}_2^2 + \text{катет}_2^2 = 256$.

$2\text{катет}_2^2 - 40\text{катет}_2 + 400 - 256 = 0$.

Упростим дальше:

$\text{катет}_2^2 - 20\text{катет}_2 + 72 = 0$.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант ($D$) равен:

$D = b^2 - 4ac,$

где $a = 1$, $b = -20$, и $c = 72$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 400 - 288 = 112$.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$\text{катет}_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{7}.$

Итак, мы нашли два значения для $\text{катет}_2$:

1. $\text{катет}_2 = 10 + 2\sqrt{7}$