Question

Докажите, что если в треугольниках равны высоты, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их сторон, к которым проведены эти высоты.

Answer 1

Ответ:

Отношение площадей треугольников с равными элементами

Теорема

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся, как основания.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся, как высоты, проведенные к этим основаниям.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы.

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим треугольники △ABC△ABC и △A1B1C1△A1B1C1 в которых высоты BHBH и B1H1B1H1 равны.

Тогда SABCSA1B1C1=12BH⋅AC12B1H1⋅A1C1=ACA1C1

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два треугольника: ABC и XYZ, где высоты AD и XE равны.

Мы хотим доказать, что отношение площадей треугольников ABC и XYZ равно отношению сторон этих треугольников, к которым проведены эти высоты, то есть:

Площадь(ABC) / Площадь(XYZ) = AB / XY

Для начала, давайте обратим внимание на следующие факты:

1. Высота AD перпендикулярна стороне AB треугольника ABC, а высота XE перпендикулярна стороне XY треугольника XYZ.

2. Высоты AD и XE равны по условию.

3. Длины этих высот обозначим как h.

Теперь давайте рассмотрим площади треугольников ABC и XYZ:

Площадь(ABC) = (1/2) * AB * h Площадь(XYZ) = (1/2) * XY * h

Теперь мы можем сформулировать отношение площадей:

(Площадь(ABC) / Площадь(XYZ)) = ((1/2) * AB * h) / ((1/2) * XY * h)

Заметим, что (1/2) и h сокращаются в числителе и знаменателе:

(Площадь(ABC) / Площадь(XYZ)) = (AB / XY)

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей треугольников ABC и XYZ равно отношению сторон AB и XY.