Question

Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

Answer 1

Ответ:

CF : KF = AE : KE

Объяснение:

Так как  угол ВСЕ= 90 градусов -угол В/2, то угол ВСЕ=углу ВЕС, а значит ВЕ=ВС.

поэтому CF/KF=BE : BK = BC : BK и  AE : KE = CA : CK = BC : BK.

Пусть прямая EF пересекает AC в точке D. По теореме Менелая

AD/CD*CF/KF*KE/AE=1

Учитывая, что  CF : KF = AE : KE, получаем требуемое

Answer 2

Для доказательства того, что прямая EF делит отрезок AC пополам, давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Обозначим угол BAC как α и угол BCK как β.

1. Треугольники ABC и ACK подобны, так как угол BAC и угол BCK оба прямые, и у них общий угол в точке C. Это можно записать как:

   ABC подобен ACK: ∠BAC = ∠CAB = α и ∠BCK = ∠CBA = β.

2. Из подобия треугольников ABC и ACK мы можем записать следующее отношение сторон:

   AC / CK = AB / BC.

3. Так как прямая BF параллельна CE, треугольники BFC и CEF также подобны:

   BFC подобен CEF: ∠BFC = ∠CEK = β (по свойству параллельных прямых) и ∠BCF = ∠CEB (из подобия треугольников ABC и ACK).

4. Из подобия треугольников BFC и CEF мы можем записать следующее отношение сторон:

   CF / CE = BC / AB.

5. Теперь объединим отношения из пунктов 2 и 4:

   AC / CK = AB / BC CF / CE = BC / AB

6. Перепишем отношение CF / CE, инвертируя его:

   CE / CF = AB / BC

7. По транзитивности равенств, можем объединить отношения из пунктов 5 и 6:

   AC / CK = CE / CF

8. Теперь у нас есть два равенства:

   AC / CK = AB / BC AC / CK = CE / CF

9. Из равенств 8 следует, что AB / BC = CE / CF.

10. Теперь рассмотрим равенства AC / CK и CE / CF. Мы видим, что они имеют общую дробь AC в числителе. Следовательно:

AB / BC = CE / CF AB / BC = AC / CK

11. По свойству равенства двух дробей, если их числители равны, то их знаменатели также равны:

BC / CK = CF / CE

12. Заметим, что CK + KC = AC, и CF + FC = CE (по определению CK и CF). Следовательно:

AC / CK = CE / CF

13. Теперь, используя равенства из пункта 8, мы видим:

AC / CK = AB / BC = CE / CF

14. Поскольку AC / CK = CE / CF, это означает, что CK делит отрезок AC пополам, и EF также делит отрезок AC пополам.

Таким образом, прямая EF действительно делит отрезок AC пополам, и доказательство завершено.