Question

В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно. РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину отрезка DА. Желательно подробно.

Answer 1

В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно.  РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину  отрезка DА.

Объяснение:

1) ΔABD ,NP-средняя линия ⇒NP=1/2*AD  и NP║AD;

2) ΔAСD ,MQ-средняя линия ⇒MQ=1/2*AD и MQ║AD;  Получили NP=MQ и NP║MQ.

            Учитывая 1 и 2 получаем, что MPNQ- параллелограмм , тк противоположные стороны равны и параллельны .Учитывая , что

РQ =NM (признак прямоугольника), получаем , что NPMQ – прямоугольник.

Отрезок DA=2*MQ по т. о средней линии треугольника.

Отрезок MQ=√(NM²-NQ²) из ΔMNQ.

Отрезок NQ найдем из ΔABC  по т. о средней линии треугольника:  

NQ=1/2*ВС=1/2*18=9 (см).

ΔMNQ-прямоугольный , по т. Пифагора MQ=√(15²-9²)=12(см) ⇒

DA=2*12=24 (cм) .

Answer 2

Для доказательства того, что NPMQ - прямоугольник, нам нужно показать, что углы этого четырехугольника прямые, то есть что его диагонали перпендикулярны друг к другу.

Сначала рассмотрим диагональ NP. Точка P - середина ребра DC, а точка N - середина ребра AC. Поскольку MN = 15 см, а BC = 18 см, то AN = NC = 9 см (так как N - середина AC и MN - это половина BC). Теперь у нас есть две стороны треугольника ANC (AN и NC) и сторона AC, которая общая для треугольников ANC и APC.

Теперь мы можем использовать теорему о медиане треугольника: медиана разделяет сторону треугольника пополам и делит треугольник на два равных по площади треугольника. Поскольку N - середина AC, медиана NP разделит треугольник ANC на два равных по площади треугольника ANP и CNP.

Таким образом, ANP и CNP равны по площади. Рассмотрим треугольник ANC. Поскольку AN = NC, ANP и CNP равны по площади, и у них одинаковая высота относительно основания AC, то они также равны по площади. Значит, угол ANC (угол между сторонами AN и NC) равен 90 градусов, и треугольник ANC является прямоугольным.

Аналогично, можно показать, что треугольник BMD также является прямоугольным, так как MB = MD (так как M - середина BD) и MN = 15 см (дано).

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: ANC и BMD. Их гипотенузы (AN и BM) пересекаются в точке D, и их катеты (AC и BD) пересекаются в точке C. Таким образом, D - точка пересечения диагоналей NP и MQ четырехугольника NPMQ.

Поскольку угол ANC и угол BMD прямые, то угол NDC и угол QDC также прямые, так как они являются вертикальными углами (вертикальные углы равны). Значит, NPMQ - прямоугольник.

Теперь давайте найдем длину отрезка DA. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ADC:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Мы уже знаем, что AC = 18 см (дано) и CD = 9 см (половина BC, так как C - середина BC). Подставим значения:

18^2 = AD^2 + 9^2

324 = AD^2 + 81

AD^2 = 324 - 81

AD^2 = 243

AD = √243

AD = 3√27

AD = 3√(3^3)

AD = 3 * 3 = 9 см

Итак, длина отрезка DA равна 9 см.