Question

Докажите, что диагональ параллепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.​

Answer 1

Ответ:

1)тр ABC:

AC меньше AD плюс DC,

AC меньше AD плюс AB

2)тр AA1C:

A1C меньше АА1 плюс АС,

А1С меньше АА1 плюс АD плюс АВ

Ч.т.д

Answer 2

Давайте представим параллелепипед в трехмерном пространстве и обозначим его вершины следующим образом: A, B, C, D, E, F, G и H. Допустим, что мы хотим доказать, что длина диагонали (например, от вершины A до вершины G) меньше суммы длин трех рёбер, имеющих общую вершину (например, AG, AB и AG).

Для начала, определим координаты вершин A и G. Пусть A имеет координаты (x₁, y₁, z₁), а G имеет координаты (x₂, y₂, z₂).

Длина диагонали AG вычисляется по теореме Пифагора:

AG² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Теперь давайте рассмотрим три ребра, исходящих из вершины A: AG, AB и AF. Длины этих рёбер обозначим как AG, AB и AF соответственно.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику AGF:

AG + AF > GF (1)

Также, применим неравенство треугольника к треугольнику AGB:

AG + AB > BG (2)

Теперь сложим неравенства (1) и (2):

AG + AF + AG + AB > GF + BG

2(AG + AF + AB) > GF + BG

Теперь мы видим, что сумма длин трех рёбер AG, AB и AF больше, чем сумма длин GF и BG:

2(AG + AF + AB) > GF + BG

Теперь давайте вернемся к выражению для длины диагонали AG (AG² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) и заметим, что AG > GF и AG > BG, так как AG - это диагональ, которая является самой длинной стороной параллелепипеда.

Таким образом, у нас есть:

AG > GF и AG > BG

Следовательно, AG > GF + BG

Из этого следует, что:

AG² > (GF + BG)²

AG > GF + BG

Таким образом, мы доказали, что длина диагонали AG больше суммы длин трех рёбер, имеющих общую вершину (GF, BG и AG).