Question

В треугольнике одна из сторон вдвое длиннее другой, докажите, что одна из высот вдвое короче другой.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По формуле площади треугольника $S=\frac{1}{2} ah_{a}$ и так далее для любой стороны и проведённый к ней высоте. Значит если например сторона c=2a, то площадь для неё будет $S=\frac{1}{2} 2ah_{c}$

Приравниваем эти площади:

$\frac{1}{2} ah_{a}= \frac{1}{2} 2ah_{c}\\ah_{a}= 2ah_{c}\\h_{c}= \frac{h_{a} }{2}$

Значит одна из высот в 2 раза короче другой.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте обозначим стороны треугольника и их высоты. Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, где a и b - это две стороны, и одна из них вдвое длиннее другой (допустим, что a вдвое длиннее b), а c - третья сторона. Пусть h₁ и h₂ - это соответствующие высоты треугольника, проведенные к сторонам a и b соответственно.

Теперь мы можем использовать формулу для высоты треугольника:

h₁ = (2 * Площадь треугольника) / a h₂ = (2 * Площадь треугольника) / b

Обратите внимание, что площадь треугольника остается постоянной, независимо от длины его сторон, так как она вычисляется по формуле:

Площадь треугольника = (1/2) * a * h₁ = (1/2) * b * h₂

Теперь мы можем подставить выражение для площади треугольника в формулы для высот h₁ и h₂:

h₁ = (2 * (1/2) * a * h₁) / a = h₁ h₂ = (2 * (1/2) * b * h₂) / b = h₂

Из полученных уравнений видно, что h₁ = h₁ и h₂ = h₂, что означает, что обе высоты остаются неизменными и не зависят от длины сторон a и b. Таким образом, одна из высот не вдвое короче другой, а обе высоты равны между собой.