Question

В трапеции abcd с основаниями ad, bc диагонали пересекаются в точке n. Докажите что площади треугольников abn и ncd равны

Answer 1

Решение:

1) Точки B и C равноудалены от прямой AD, значит, S(abd) = S(acd).

2) Тогда S(abn) = S(abd) - S(and) = S(acd) - S(and) = S(cnd).

3) Отсюда, площади треугольников ABN и NCD равны.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что площади треугольников ABN и NCD равны, давайте воспользуемся свойствами трапеции и параллельных линий.

Дано:

1. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
2. Диагонали AC и BD пересекаются в точке N.

Мы хотим доказать, что площади треугольников ABN и NCD равны.

Сначала обратим внимание на следующие факты:

1. Внутри трапеции ABCD существует параллельная пара сторон AD и BC.
2. Также существует параллельная пара сторон AB и CD, так как AD и BC параллельны и пересекаются на боковых сторонах.

Теперь мы можем использовать свойства подобных треугольников:

1. Треугольник ABN подобен треугольнику CDN, так как у них уголы NAB и NCD равны (параллельные линии AD и BC пересекаются диагональю AC).

2. Также у треугольников ABN и CDN имеются общие углы в точке N.

Из этих двух свойств следует, что треугольники ABN и CDN подобны друг другу.

Теперь рассмотрим отношение площадей подобных треугольников:

(Площадь ABN) / (Площадь CDN) = (AB/CD)^2

Поскольку треугольники ABN и CDN подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон AB и CD.

Теперь мы можем заметить, что AB/CD = AD/CD, так как AD и AB являются отрезками одной и той же диагонали AC. Таким образом:

AB/CD = AD/CD

Теперь рассмотрим трапецию ABCD. Она разделена на два треугольника ADN и BCN двумя диагоналями. Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно отношению их соответствующих сторон:

(Площадь ADN) / (Площадь BCN) = (AD/CD)

Теперь мы видим, что (ABN/CDN) = (ADN/BCN), и (ADN/BCN) = (AD/CD).

Таким образом, (Площадь ABN) / (Площадь CDN) = (AD/CD)

Из этого следует, что площади треугольников ABN и CDN равны, так как отношение их площадей равно отношению соответствующих сторон AD и CD:

(Площадь ABN) = (Площадь CDN)

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников ABN и CDN равны.