Question

Медианы AD и BE треугольника ABC пересекаются в точке F. Известно, что SABF = 1. Найдите SDEF.помогитее​

Answer 1

Ответ:

Во-первых, рассмотрим ΔAFB и ΔEFD.

1) ∠AFB = ∠EFD ( тк вертик )

2)∠EDF = ∠FAB (тк накрест лежащие углы при ED ║ AB и секущей AD )

Значит, ΔAFB ≅ ΔEFD ( по двум углам ).

во-вторых, площади подобный треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, DE - средняя линия треугольника. Значит $\frac{AD}{ED}$ = $\frac{1}{2}$.

Найдём площадь, Δ AFB / ΔEFD = 1/1/2^2 = 0, 25 см².

Ответ: SΔDEF = 0, 25 см²

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим следующие обозначения:

1. Пусть точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, а точка E лежит на стороне BC.
2. Пусть F - точка пересечения медиан треугольника ABC.
3. SABF - это площадь треугольника ABF, и она равна 1 (это дано).

Теперь давайте воспользуемся тем фактом, что медианы треугольника делятся друг на друга в отношении 2:1. Это означает, что точка F делит медиану AD в отношении 2:1, и точка F также делит медиану BE в отношении 2:1.

Пусть M1 - середина стороны BC, M2 - середина стороны AC и M3 - середина стороны AB треугольника ABC.

Теперь у нас есть следующие отношения:

1. AF/FD = 2/1
2. BF/FE = 2/1

Теперь давайте рассмотрим площади треугольников AEF и DEF. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между этими сторонами.

S(AEF) = (1/2) * AE * EF * sin(AEF) S(DEF) = (1/2) * FD * DE * sin(DEF)

Мы также можем использовать тот факт, что синус угла AEF равен синусу угла DEF, так как углы AEF и DEF дополняют друг друга:

sin(AEF) = sin(DEF)

Теперь мы можем выразить отношение S(AEF) к S(DEF):

S(AEF) / S(DEF) = [(1/2) * AE * EF * sin(AEF)] / [(1/2) * FD * DE * sin(DEF)]

Используя отношения AF/FD и BF/FE из первых двух шагов, мы можем выразить AE и DE через EF:

AE = AF + EF DE = BF + FE

Теперь мы можем подставить эти выражения в отношение площадей:

S(AEF) / S(DEF) = [((1/2) * (AF + EF) * EF * sin(AEF))] / [((1/2) * (BF + FE) * FD * sin(DEF))]

Из условия задачи SABF = 1 мы также знаем, что S(ABF) = (1/2) * AB * BF * sin(ABF). Измеряем угол ABF как x.

Таким образом, мы можем записать следующее:

S(ABF) = (1/2) * AB * BF * sin(x) S(AEF) = SABF - S(ABF) = 1 - [(1/2) * AB * BF * sin(x)]

Теперь мы можем подставить S(AEF) и S(DEF) обратно в наше отношение площадей:

[1 - (1/2) * AB * BF * sin(x)] / S(DEF) = [((1/2) * (AF + EF) * EF * sin(AEF))] / [((1/2) * (BF + FE) * FD * sin(DEF))]

Мы видим, что (1/2) и sin(x) сокращаются на обеих сторонах, и мы можем упростить выражение:

[1 - AB * BF * sin(x)] / S(DEF) = [(AF + EF) * EF] / [(BF + FE) * FD]

Теперь мы знаем, что AF/FD = 2/1 и BF/FE = 2/1, поэтому мы можем заменить AF на 2FD и BF на 2FE:

[1 - AB * (2FE) * sin(x)] / S(DEF) = [(2FD + EF) * EF] / [(2FE + FE) * FD]

[1 - 2AB * EF * sin(x)] / S(DEF) = [(2FD + EF) * EF] / [(3FE) * FD]

Теперь у нас есть выражение для отношения площадей S(AEF) и S(DEF) в терминах AB, EF, FD и sin(x).

Чтобы выразить S(DEF) отдельно, давайте переместим это выражение на одну сторону уравнения:

S(DEF) = [1 - 2AB * EF * sin(x)] / [(2FD + EF) * EF / (3FE * FD)]

Теперь мы можем упростить это выражение и найти S(DEF). Вам потребуется измерить угол ABF (x), а также знать длины сторон AB, EF, FD и FE треугольника ABC для получения численного значения S(DEF).