Question

Найдите высоты треугольника со сторонами 5, 6 и 7.

Answer 1

Ответ:

$BH=\dfrac{12\sqrt{6} }{7} \\\\AK=2\sqrt{6} \\\\CM=\dfrac{12\sqrt{6} }{5}$

Объяснение:

Дано: ΔАВС, АВ=5 см, ВС= 6 см, АС= 7 см, ВН⊥АС, СМ⊥АВ, АК⊥ВС

Найти: ВН, СМ, АК

Найдём площадь ΔАВС по формуле Герона:

$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)$

где a, b, c - стороны треугольника, р - полупериметр.

$p=\dfrac{a+b+c}{2} =\dfrac{5+6+7}{2} = 9$  см

$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} =\sqrt{9*4*3*2} =3*2*\sqrt{3*2} =6\sqrt{6}$  cм²

С другой стороны, площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h), проведенную к этому основанию:

$S = \dfrac{1}{2} * a*h$

Таким образом находим высоты:

1) ВН

$S = \dfrac{1}{2} * AC*BH\\\dfrac{1}{2} *7*BH=6\sqrt{6} \\BH=\dfrac{6\sqrt{6}*2 }{7} =\dfrac{12\sqrt{6} }{7}$

2) AK

$S=\dfrac{1}{2} *BC*AK\\\dfrac{1}{2} *6*AK=6\sqrt{6} \\AK=\dfrac{6\sqrt{6}*2 }{6} =2\sqrt{6}$

3) CM

$S = \dfrac{1}{2} *AB*CM\\ \dfrac{1}{2} *5*CM = 6\sqrt{6} \\CM=\dfrac{6\sqrt{6}*2 }{5} =\dfrac{12\sqrt{6} }{5}$

Answer 2

Вы можете найти высоты треугольника с помощью формулы для площади треугольника и длин его сторон. Формула для вычисления площади треугольника по его сторонам (a, b и c) и полупериметру (s) выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

где $s = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр треугольника.

Для треугольника со сторонами 5, 6 и 7:

$s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 6$

Площадь треугольника равна 6.

Теперь, чтобы найти высоты треугольника, можно использовать следующую формулу:

$h_a = \frac{2S}{a}$ $h_b = \frac{2S}{b}$ $h_c = \frac{2S}{c}$

где $h_a$, $h_b$, и $h_c$ - высоты, соответствующие сторонам $a$, $b$, и $c$ соответственно.

Для треугольника со сторонами 5, 6 и 7:

$h_a = \frac{2 \cdot 6}{5} = \frac{12}{5}$ $h_b = \frac{2 \cdot 6}{6} = 2$ $h_c = \frac{2 \cdot 6}{7} \approx 1.7143$

Итак, высоты треугольника равны: $h_a \approx 2.4$, $h_b = 2$, $h_c \approx 1.7143$.