Question

ДАЮ 60 БАЛЛОВ!ОЧЕНЬ СРОЧНО Угол при основании равнобедренного треугольника равен α. Найдите отношение радиуса круга вписанного в этот треугольник к радиусу описанной окружности

Answer 1

Ответ:

для вписанной окружности:

центр ---пересечение биссектрис углов треугольника

т.к. одна из биссектрис (проведенная к основанию (а)) ---медиана и высота, можно записать по определению тангенса: r / (a/2) = tg(альфа/2)

r = (a/2) * tg(альфа/2)

для описанной окружности: R = a / (2sin(180-2альфа)) = a / (2sin(2альфа))

r/R = a * tg(альфа/2) * 2sin(2альфа) / (2*a) = sin(2альфа)*tg(альфа/2)

можно еще немного сократить...

sin(2a) = 2sin(a)*cos(a) = 4sin(a/2)*cos(a/2)*cos(a)

r/R = 4cos(a)*(sin(a/2))^2 (здесь а---угол альфа)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и свойствами вписанных и описанных окружностей.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании α и радиусом описанной окружности R. Угол при вершине треугольника равен 2α (так как треугольник равнобедренный), и он также является центральным углом, соответствующим дуге BC описанной окружности.

2. Поскольку угол при вершине равен 2α, а угол в центре окружности (угол, образованный центральной дугой) равен удвоенному углу при основании (то есть 2α), то угол между сторонами треугольника и радиусами описанной окружности равен α.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABO, где O - центр описанной окружности, а B и A - точки касания описанной окружности с сторонами треугольника. Так как угол между сторонами треугольника и радиусами описанной окружности равен α, то этот угол также равен половине угла при вершине треугольника (так как он делится на две равные части радиусами описанной окружности).

4. Теперь рассмотрим треугольник OBC. Угол OBC равен α/2, а угол BCO также равен α/2, так как они дополняют друг друга до 180 градусов.

5. Из свойства треугольника OBC следует, что угол OCB равен 180° - α/2 - α/2 = 180° - α. Таким образом, угол OCB равен углу при основании треугольника ABC.

6. Из этого следует, что треугольник ABC подобен треугольнику OCB.

7. Теперь мы можем использовать соотношение радиусов в подобных треугольниках:

   (Радиус вписанной окружности) / (Радиус описанной окружности) = (AB / BC),

где AB - расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности, а BC - расстояние от вершины треугольника до центра описанной окружности.

8. Так как треугольник ABC подобен треугольнику OCB, отношение расстояний AB и BC равно отношению длин сторон этих треугольников, которое равно тангенсу угла OCB:

   AB / BC = tan(180° - α).

9. Тангенс комплементарного угла равен тангенсу самого угла, поэтому:

   AB / BC = tan(α).

Теперь у нас есть выражение для отношения радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности:

(Радиус вписанной окружности) / (Радиус описанной окружности) = tan(α).

Таким образом, отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно тангенсу угла α.