Question

Векторы u→ и n→ взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов c→ и d→, которые выражены следующим образом: c→=3⋅u→−4⋅n→, d→=3⋅u→+4⋅n→. c→⋅d→= .

Answer 1

c*d=(3u-4n)(3u+4n)=(3u)^2-(4n)^2=9u^2-16n^2=9*6^2-16*6^2=36*(-7)=-252

(3u)^2=|3u|^2

(4n)^2=|4n|^2

ответ: скалярное произведение векторов с и d равно -252

Answer 2

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

|3u|=18 см, |4n|=24 см, d=3u+4n;

|d|=√(18²+24²)=30 см

c=3u-4n;

|c|=30 см (длины векторов одинаковы поскольку беруться модули векторов из которых они состоят.

Косинус угла между векторами c,d - косинус двойного угла:

cos2α=1-2sin²α;

sinα=24/30;

cos2α=1-2*(24/30)²= - 0,28;

c*d=30*30*(-0,28)= -252.

Answer 3

Сначала определим векторы c→ и d→:

c→ = 3⋅u→ - 4⋅n→ d→ = 3⋅u→ + 4⋅n→

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов c→ и d→:

c→⋅d→ = (3⋅u→ - 4⋅n→)⋅(3⋅u→ + 4⋅n→)

Для нахождения скалярного произведения раскроем скобки и используем свойство скалярного произведения, которое позволяет перемножать скаляр и вектор:

c→⋅d→ = 3⋅u→⋅3⋅u→ + 3⋅u→⋅4⋅n→ - 4⋅n→⋅3⋅u→ - 4⋅n→⋅4⋅n→

Так как u→ и n→ взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение будет равно 0. Это происходит потому, что когда векторы перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусам, и cos(90°) = 0. Таким образом:

u→⋅n→ = 0 n→⋅u→ = 0

Теперь у нас остаются только скалярные произведения векторов u→ и самих себя:

u→⋅u→ = |u→|^2

Мы знаем, что длина вектора u→ равна 6 см, поэтому:

|u→|^2 = 6^2 = 36

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение c→ и d→:

c→⋅d→ = 3⋅36 + 0 - 0 - 4⋅n→⋅n→

Так как n→ и n→ имеют одинаковую длину и также взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение будет равно квадрату их длины:

n→⋅n→ = |n→|^2

По условию, длина вектора n→ равна 6 см, поэтому:

|n→|^2 = 6^2 = 36

Теперь мы можем продолжить расчет:

c→⋅d→ = 3⋅36 - 4⋅36 = 108 - 144 = -36

Итак, скалярное произведение векторов c→ и d→ равно -36.