Question

На доске нарисован правильный n-угольник. Из всех его вершин (кроме вершины A) Петя провёл все диагонали. Из вершины A он провёл лишь несколько диагоналей (но не все). Количество проведённых им диагоналей равно 50. Сколько вершин имеет этот правильный многоугольник?​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Количество диагоналей n - угольника вычисляется по формуле:

$\displaystyle N=\frac{n(n-3)}{2}$

Подставим количество проведённых Петей диагоналей в формулу:

$></p> <p>Найдем дискриминант:</p> <p><img src=$

Ближайшие числа, из которых извлекается квадрат 400 и 441.

Так как Петя провел не все диагонали, то выбираем большее, то есть 441.

Тогда получим:

$\displaystyle n_{1,2}=\frac{3^+_-\sqrt{441} }{2}=\frac{3^+_-21}{2} \\\\n_1=12;\;\;\;\;\;n_2=-9$

⇒ n=12

Проверим:

$\displaystyle N=\frac{12(12-3)}{2} =54$

Значит Петя не нарисовал 4 диагонали в 12-угольнике.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Для начала определим, сколько всего диагоналей можно провести в правильном n-угольнике. Для этого нужно выбрать 2 вершины из n вершин, исключив вершину A. Это можно сделать следующим образом: (n - 1) выбор для первой вершины и (n - 2) выбор для второй вершины. Однако каждая диагональ будет учтена дважды (один раз при выборе первой вершины и один раз при выборе второй вершины), поэтому нам нужно разделить результат на 2:

Всего диагоналей = (n - 1) * (n - 2) / 2

Теперь у нас есть общая формула для количества диагоналей в правильном n-угольнике.

Из условия известно, что Петя провел 50 диагоналей из вершины A. Теперь мы можем записать уравнение:

50 = (n - 1) * (n - 2) / 2

Давайте решим это уравнение для n:

50 = (n - 1) * (n - 2) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

100 = (n - 1) * (n - 2)

Теперь разложим 100 на множители:

100 = 2 * 2 * 5 * 5

Теперь мы видим, что n - 1 и n - 2 должны быть двумя из этих множителей. Так как n - 1 всегда меньше n - 2, то n - 1 может быть 2, а n - 2 может быть 5, или наоборот.

Вариант 1: n - 1 = 2 n - 2 = 5

Решая эту систему уравнений, получаем:

n = 3

Вариант 2: n - 1 = 5 n - 2 = 2

Решая эту систему уравнений, получаем:

n = 7

Итак, возможны два варианта:

1. Правильный многоугольник с 3 вершинами (треугольник), и Петя провел 50 диагоналей из вершины A.
2. Правильный многоугольник с 7 вершинами (семиугольник), и Петя провел 50 диагоналей из вершины A.

Таким образом, ответ на задачу может быть 3 или 7 вершин в многоугольнике, в зависимости от контекста задачи и дополнительной информации.