Question

№1. Точка М не лежить у площині трикутника АВС. На відрізках МА, МВ, МС вибрано точки T, F, D відповідно, що МТ : ТА = МF : FB = MD : DC. Доведіть, що площини (АВС) і (TFD) - паралельні. Виконайте малюнок до задачі. №2. Дано три паралельні площини a, b, y. Х1, Х2, Х3 - точки перетину цих площин з довільною прямою. Доведіть, що відношення довжин відрізків Х1Х2 : Х2Х3 не залежить від прямої, тобто однаково для будь-яких двох прямих.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Вроде так. Учитель ещё не проверил. Потому пишите на свой страх и риск

Answer 2

№1. Доказ паралельності площин (АВС) і (TFD):

Спершу побудуємо малюнок для даної задачі. Нам дано трикутник ABC і точку M, яка не лежить на площині цього трикутника. З точки M проводимо відрізки MA, MB і MC, а потім на цих відрізках обираємо точки T, F і D відповідно, так що відношення довжин MT : TA = MF : FB = MD : DC.

Малюнок:

cssCopy code
        C
        /\
       /  \
      /    \
     /______\
    A        B
              \
               \
                M

Зараз нам потрібно довести, що площина (TFD) паралельна площині (ABC). Для цього ми можемо скористатися властивостями подібності трикутників.

1. Розглянемо трикутники MAT і MFD. Ми знаємо, що MT : TA = MF : FB за умовою задачі. Також обидва ці трикутники мають спільний кут при вершині M (так як кути AMT і FMF прямі кути). З цих двох відношень і спільного кута випливає, що трикутники MAT і MFD подібні.

2. Розглянемо трикутники MBC і MFD. Аналогічно, ми знаємо, що MF : FB = MD : DC за умовою задачі. Також обидва ці трикутники мають спільний кут при вершині M (крім того, кути MBC і MFD також прямі кути). З цих двох відношень і спільного кута випливає, що трикутники MBC і MFD подібні.

3. Зараз ми маємо два подібних трикутники MAT і MFD, а також два подібних трикутники MBC і MFD. Це означає, що відношення відповідних сторін цих трикутників однакові.

4. Зокрема, відношення сторін MA і MD, а також сторін MB і MF однакові. Але це також означає, що відношення сторін AB і FD однакові, так як MA/MD = MB/MF.

5. З цього випливає, що відрізок FD паралельний відрізку AB.

6. Оскільки площина (TFD) містить відрізок FD, і відрізок FD паралельний відрізку AB, то площина (TFD) паралельна площині (ABC).

Отже, площина (TFD) паралельна площині (ABC).

№2. Доведення незалежності від прямої відношення довжин відрізків Х1Х2 : Х2Х3:

Ми маємо три паралельні площини a, b і c, і точки Х1, Х2 і Х3 - їхні точки перетину з довільною прямою. Нам потрібно довести, що відношення довжин відрізків Х1Х2 і Х2Х3 не залежать від положення цієї прямої.

Малюнок для легшого розуміння:

cssCopy code
   a       b       c
   |       |       |
   |       |       |
---X1------X2------X3---
   |       |       |
   |       |       |

Розглянемо три площини a, b і c, а також точки Х1, Х2 і Х3 на них.

1. Розглянемо площину a і точки Х1 та Х2 на цій площині. Проведемо пряму, яка проходить через точки Х1 і Х2 і перетинає площину a. Оскільки точки Х1 і Х2 лежать на площині a, ця пряма перетинає площину a в двох точках, одна з яких є точкою Х1, а інша - точкою Х2.

2. Розглянемо площину b і точки Х2 та Х3 на цій площині. Проведемо пряму, яка проходить через точки Х2 і Х3 і перетинає площину b. Оскільки точки Х2 і Х3 лежать на площині b, ця пряма перетинає площину b в двох точках, одна з яких є точкою Х2, а інша - точкою Х3.

3. Таким чином, ми бачимо, що відрізок Х2Х3 входить у склад двох прямих, одна з яких проходить через точки Х1 і Х2 на площині a, а інша - через точки Х2 і Х3 на площині b.

4. Відношення довжин відрізків Х1Х2 і Х2Х3 дорівнює відношенню довжин відрізків на цих двох прямих. Оскільки прямі не залежать від положення довільної третьої площини c (вони просто лежать на площинах a і b), то відношення Х1Х2 і Х2Х3 не залежать від положення цієї площини c.

Отже, відношення довжин відрізків Х1Х2 і Х2Х3 не залежать від прямої і не залежать від положення площини c.