Question

В треугольнике ABC, у которого AB + BC = 2AC, проведена биссектриса BL . Окружность, проходящая через точки , B L и касающаяся прямой AC , пересекает стороны AB и BC в точках M и N . Докажите, что MN | AC и найдите отношение MN : AC

Answer 1

O - центр окружности

OL⊥AC (радиус в точку касания)

Биссектриса BL делит дугу MN пополам.

Радиус OL делит дугу MN пополам, следовательно перпендикулярен хорде MN.

(В равнобедренном △MON биссектриса OL является высотой.)

OL⊥AC, OL⊥MN => MN||AC

По теореме о биссектрисе

AB/AL =BC/CL

По условию

AB +BC =2AC =>

AL*AB/AL +CL*BC/CL =2AC =>

AB/AL (AL+CL) =2AC => AB/AL =2

По теореме о касательной и секущей

AL^2 =AB*AM => AL/AM =AB/AL =2

AL/AM *AB/AL =AB/AM =4/1

△MBN~△ABC (стороны параллельны) => MN/AC =MB/AB =3/4

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую задачу и докажем, что $MN$ параллельна $AC$ и найдем отношение $MN:AC$.

Для начала, предоставлю некоторые обозначения:

• Пусть $AB = x$ и $BC = y$.
• Также, пусть $AC = z$.

Условие задачи гласит, что $AB + BC = 2AC$, что можно записать как: $x + y = 2z \quad \text{(1)}$

Теперь рассмотрим биссектрису $BL$. Она делит угол $ABC$ на два равных угла, следовательно, $\angle ABL = \angle CBL$.

Далее, введем точку $O$ - центр описанной окружности, проходящей через точки $B$, $L$ и касающейся прямой $AC$. Также, обозначим радиус этой окружности как $r$.

Поскольку окружность касается прямой $AC$, то радиус $r$ перпендикулярен $AC$ и проходит через $O$. Поэтому треугольник $OAC$ прямоугольный.

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и радиус-тангенту. Поскольку $\angle ABO = \angle CBO$ (как половина угла $ABC$), то $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ подобны прямоугольным треугольникам $\triangle OAC$.

Таким образом, мы можем записать следующие пропорции:

$\frac{AB}{AO} = \frac{BO}{OC} \quad \text{(2)}$

$\frac{BC}{CO} = \frac{BO}{OA} \quad \text{(3)}$

Теперь давайте рассмотрим пропорции (2) и (3) вместе.

Из (2) и (3) можно получить следующее:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC} \cdot \frac{BO}{BO} = \frac{AO}{OC}$

Теперь мы можем выразить $\frac{AO}{OC}$ через отношение сторон $AB$, $BC$ и $AC$ из пропорции (1):

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{y}$

Таким образом, $\frac{AO}{OC} = \frac{x}{y}$.

Теперь рассмотрим точки $M$ и $N$. Пусть $AM = x_1$ и $BN = y_1$. Тогда, $CM = AC - AM = z - x_1$ и $CN = BC - BN = y - y_1$.

Из пропорции подобных треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ (как мы показали выше), мы можем записать:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{CM} = \frac{x_1}{z - x_1} \quad \text{(4)}$

$\frac{BO}{OA} = \frac{BN}{AM} = \frac{y_1}{x_1} \quad \text{(5)}$

Теперь объединим (4) и (5):

$\frac{x}{y} = \frac{x_1}{z - x_1} \cdot \frac{y_1}{x_1}$