Question

Через точку A(2;0.25) проводятся прямые, пересекающие положительные полуоси в точках B и С. Найти уравнение той прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным

Answer 1

Дана точка A(2; 0,25) и прямая, проходящая через эту точку и пересекающаяся с положительными полуосями в  точках B и С.

Найти уравнение прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным.

Эта задача имеет 2 решения:

- 1) миниминизация длины отрезка ВС с применением теоремы Пифагора для треугольника с катетами ОВ и ОС,

- 2) те же действия с использованием критического угла наклона отрезка к оси Оу при его минимальной длине.

1) Пусть ордината точки В равна "b", а абсцисса точки С равна "а".

Из подобия треугольников и координат точки А имеем:

b/0,25 = a/(a - 2), отсюда получаем соотношение для "b":

b = 0,25a/(a - 2).

Получаем функцию зависимости длины L отрезка ВС от одного из параметров:

L = √(a² + b²) = √(a² + (0,25a/(a - 2))²).

Для определения минимума функции нужно найти производную этой функции и приравнять нулю.

dL/da = (a(a³ - 6a² + 12a - 8,125))/((a - 2)³*√(0,0625/(a - 2)²) + 1)*a²)).

Приравниваем нулю числитель, решением кубического уравнения есть величина а = 2,5.

Тогда b = 0,25*2,5/(2,5 - 2) = 1,25.

Получаем минимальную длину ВС = √(1,25² + 2,5²) = √7,8125.

Поучаем: L = 2,795084972.

2) Для этого варианта есть готовая разработка решения.

Минимальная длина находится сразу по формуле:

L = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).

Подставив в формулу a = 2 и b = 0,25, получаем результат:

2 2 0,25  

1,107148718 0,894427191 0,447213595  

63,43494882 2,236067977 0,559016994 = 2,795084972.

По полученным a и b находим уравнение прямой.

у = -(b/a)x + b = -(1,25/2,5) x+ 1,25 = -0,5x + 1,25.

Решение аналогичной задачи, в которой выведена данная формула приведено во вложении.

Answer 2

Для нахождения уравнения прямой, которая проходит через точку A(2;0.25) и пересекает положительные полуоси в точках B и C так, чтобы отрезок BC был минимальным, мы можем воспользоваться принципом наименьшего времени. Прямая, которая соединяет точку A с точкой на положительной полуоси, будет иметь минимальную длину BC.

Пусть точка B лежит на положительной полуоси x, то есть B(x, 0), где x > 0. Точка C лежит на положительной полуоси y, то есть C(0, y), где y > 0.

Теперь мы можем найти длину отрезка BC с помощью теоремы Пифагора:

BC^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 BC^2 = x^2 + y^2

Мы хотим минимизировать длину BC, а это означает минимизацию BC^2. Теперь мы должны выразить y через x, используя уравнение прямой, проходящей через точку A и точку B.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид: y = mx + b

где m - угловой коэффициент, а b - точка пересечения с осью y (когда x = 0).

Угловой коэффициент m можно найти, используя точки A(2;0.25) и B(x, 0): m = (0.25 - 0) / (2 - x) = 0.25 / (2 - x)

Теперь мы можем записать уравнение прямой: y = (0.25 / (2 - x)) * x + b

Теперь нам нужно найти точку B, где x > 0, поэтому x будет положительным. Точка B лежит на этой прямой, поэтому:

0 = (0.25 / (2 - x)) * x + b

Теперь решим это уравнение относительно b: b = - (0.25 / (2 - x)) * x

Теперь у нас есть уравнение прямой: y = (0.25 / (2 - x)) * x - (0.25 / (2 - x)) * x

y = 0.25

Таким образом, уравнение прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным, имеет вид: y = 0.25