Question

Даны точки А(1; 2; -3) B(-2; 0; 4) C(-1; -2; 1) а)Найдите длин сторон АВ, ВС, АС б)Найти координаты середин сторон АВ и АС в) Найти площадь треугАВС

Answer 1

Точка А                  Точка В                    Точка С  

x     y       z         x      y       z            x    y    z

1     2      -3        -2      0      4            -1     -2     1

а) Вектор АВ             Вектор ВС                Вектор АС  

x y z              x     y     z               x       y       z

-3 -2 7               1    -2    -3            -2     -4      4

Модуль √62  ≈7,8740 Модуль √14 ≈3,74166 Модуль √36 =6

б) Середины сторон:

Точка А                  Точка В                    Точка С

1     2      -3        -2      0      4            -1     -2     1

АВ/2 = ((1-2)/2;(2+0)/2; (-3+4)/2) = (-0,5; 1; 0,5),

ВС/2 = ((-2-1)/2; (0-2)/2; (4+1))/2) = (-1,5; -1; 2,5),

АС/2 = ((1-1)/2; (2-2)/2;(-3+1)/2) = (0; 0; -1).

в) Площадь по формуле Герона.

Периметр Р    Полупер. р         p - a          p - b         p - c  

17,61567    8,8078          0,9338            5,06618      2,8078

S =10,816654 .

По векторному произведению АВ(-3; -2; 7) на АС(-2; -4; 4)

i         j        k|        i         j

-3     -2       7|      -3;      -2

-2     -4      4|      -2       -4 = -8i -14j + 12k  + 12j + 28i - 4k = 20i - 2j + 8k.

S = (1/2)*√(400 + 4 + 64) = (1/2)*√468 = (1/2)*6√13 = 3√13 ≈ 10,816654.

 

Answer 2

а) Длины сторон треугольника ABC можно найти с помощью формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

1. Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) AB = √((-2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (4 - (-3))^2) AB = √((-3)^2 + (-2)^2 + (7)^2) AB = √(9 + 4 + 49) AB = √62

2. Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) BC = √((-1 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 4)^2) BC = √(1 + 4 + 9) BC = √14

3. Длина стороны AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) AC = √((-1 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (1 - (-3))^2) AC = √(4^2 + 4^2 + 4^2) AC = √48 AC = 4√3

б) Чтобы найти координаты середины сторон AB и AC, мы можем взять средние значения координат точек, образующих эти стороны.

Середина стороны AB: x_AB = (x1 + x2) / 2 = (1 - 2) / 2 = -0.5 y_AB = (y1 + y2) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1 z_AB = (z1 + z2) / 2 = (-3 + 4) / 2 = 0.5 Таким образом, координаты середины стороны AB равны (-0.5, 1, 0.5).

Середина стороны AC: x_AC = (x1 + x3) / 2 = (1 - 1) / 2 = 0 y_AC = (y1 + y3) / 2 = (2 - 2) / 2 = 0 z_AC = (z1 + z3) / 2 = (-3 + 1) / 2 = -1 Таким образом, координаты середины стороны AC равны (0, 0, -1).

в) Чтобы найти площадь треугольника ABC, можно использовать формулу Герона, если известны длины его сторон. У нас уже есть длины сторон AB, BC и AC:

Полупериметр треугольника p: p = (AB + BC + AC) / 2 p = (√62 + √14 + 4√3) / 2

Теперь мы можем использовать формулу Герона для площади S треугольника:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

S = √((√62 + √14 + 4√3) / 2 * (√62 + √14 + 4√3) / 2 - √62 * √14 * 4√3 / 4)

Рассчитываем значение под корнем и вычисляем площадь S.