Question

Основанием прямой призмы является ромб, острый угол которого 60 °. Боковое ребро равно 2. Меньшая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 45 °. Найти объём призмы.

Answer 1

Ответ:

Объем призмы $\displaystyle 4\sqrt {3}$ куб. ед.

Объяснение:

Найти объем призмы, основанием которой является ромб с заданным углом, известными боковым ребром и углом между основанием и меньшей диагональю призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая призма; ABCD - ромб (основание призмы); AA₁ = 2; ∠BAD = 60°; 45° - угол между основанием и меньшей диагональю призмы.

Найти: Vпр.

Решение.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:

S = Sосн · H.

1) Определим высоту призмы.

Так как призма прямая, то боковое ребро ее перпендикулярно основанию и равно высоте призмы.

AA₁ = H = 2.

2) Найдем диагональ BD основания (ромба).

Меньшей наклонной соответствует меньшая проекция.

Меньшей диагональю призмы является та диагональ, проекцией которой является меньшая диагональ ромба - основания призмы.

Диагональ B₁D = 2.

ΔB₁BD прямоугольный с острым углом 45⁰. Тогда ΔB₁BD равнобедренный.

B₁B = BD = 2.

3) Найдем стороны ромба - основания призмы.

Диагональ ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника.

Так как острый угол ромба равен 60⁰, то диагональ ромба делит его на два равносторонних треугольника.

ΔABD равносторонний. AB = BD = 2.

Стороны ромба равны по 2 ед.

4) Найдем площадь основания призмы.

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла.

S = a²·sinα.

Площадь основания:

$\displaystyle S = 2^{2} \cdot \sin 60^{o} = 4 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ (кв. ед).

4) Найдем объем призмы.

$\displaystyle V = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt {3}$ (куб. ед).

Объем призмы  $\displaystyle 4\sqrt {3}$ куб. единиц.

Answer 2

Для нахождения объема прямой призмы с ромбическим основанием, нам нужно учитывать форму основания и высоту призмы. Давайте рассмотрим данный вопрос подробнее.

1. Известно, что острый угол ромба составляет 60 градусов. Это означает, что другие два угла ромба также равны 60 градусам.

2. Меньшая диагональ ромба, которая составляет 45 градусов с плоскостью основания, образует прямой угол в вершине ромба. Это означает, что у нас есть два треугольника внутри ромба, каждый из которых имеет угол 60 градусов и угол 45 градусов. Таким образом, это равнобедренные равносторонние треугольники.

3. Боковое ребро призмы равно 2, и оно является одним из боковых ребер равнобедренного треугольника.

Теперь мы можем найти высоту призмы и, затем, объем призмы.

Высота призмы равна высоте равнобедренного треугольника. Для равнобедренного треугольника с боковым ребром (a) и углом (θ) между боковым ребром и основанием, высота (h) может быть найдена следующим образом:

h = a * sin(θ/2)

В нашем случае a = 2 и θ = 45 градусов, поэтому:

h = 2 * sin(45/2) = 2 * sin(22.5) ≈ 2 * 0.3827 ≈ 0.7654

Теперь, чтобы найти объем призмы, мы можем использовать формулу для объема призмы:

V = S * h

Где S - площадь основания, а h - высота.

Основание призмы - это ромб. Площадь ромба можно найти следующим образом:

S = (d1 * d2) / 2

Где d1 и d2 - диагонали ромба.

Диагонали ромба можно найти, используя свойства равнобедренного треугольника. Половина длины диагонали равна a / 2, поэтому:

d1 = 2 * (a / 2) = 2 d2 = 2 * (a / 2) = 2

Теперь мы можем найти площадь основания:

S = (2 * 2) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь, подставляя найденные значения в формулу для объема призмы:

V = 2 * 0.7654 ≈ 1.5308

Ответ: объем призмы равен приблизительно 1.5308 кубических единиц (единицы измерения длины возвеличены в куб).