Question

Найти угол между кривой у = х-х^3 и прямой у = 5х​

Answer 1

Даны кривая у = х - х^3 и прямая у = 5х

.

Находим их общую точку - точку пересечения.

Приравняем х - х^3  = 5х,

4x + х^3 = 0,

x(4 + x^2) = 0,

x = 0 один корень,

x^2 = -4 не имеет решения.

Угол между кривой и прямой равен углу между касательной к кривой и прямой.

Тангенс угла наклона касательной к оси Ох равен производной функции.

y' = 1 - 3x^2.

В точке х = 0 производная равна 1, то есть tg(fi) = 1.

Угол между прямыми находим по формуле:

tgα = (k2 - k1)/(1 + k2*k1) = (5 - 1)/(1 + 5*1) = 4/6 = 2/3.

α = arctg(2/3) = ​0,5880 радиан или 33,690 градуса.

​

Answer 2

Чтобы найти угол между кривой у = х - х^3 и прямой у = 5х, нам нужно использовать следующую формулу для нахождения угла между двумя кривыми:

$\theta = \arctan \left| \frac{{f'(x_0) - g'(x_0)}}{{1 + f'(x_0) \cdot g'(x_0)}} \right|$

где f(x) и g(x) - это уравнения кривых, f'(x) и g'(x) - их производные, и x_0 - точка пересечения кривых.

Давайте найдем производные для обеих функций:

Для у = х - х^3: f(x) = x - x^3 f'(x) = 1 - 3x^2

Для у = 5х: g(x) = 5x g'(x) = 5

Теперь найдем точку пересечения кривых, решив уравнение:

x - x^3 = 5x

Переносим все на одну сторону:

x - 5x - x^3 = 0

-4x - x^3 = 0

x^3 + 4x = 0

x(x^2 + 4) = 0

Таким образом, у нас есть две возможные точки пересечения: x = 0 и x^2 + 4 = 0. Однако уравнение x^2 + 4 = 0 не имеет реальных корней. Значит, точка пересечения находится в x = 0.

Теперь найдем производные в точке x = 0:

f'(0) = 1 - 3(0)^2 = 1 g'(0) = 5

Теперь можем вычислить угол:

$\theta = \arctan \left| \frac{{f'(0) - g'(0)}}{{1 + f'(0) \cdot g'(0)}} \right| = \arctan \left| \frac{{1 - 5}}{{1 + 1 \cdot 5}} \right| = \arctan \left| \frac{{-4}}{{6}} \right| = \arctan \left| \frac{2}{3} \right|$

Теперь найдем значение арктангенса этой дроби:

$\theta = \arctan \left( \frac{2}{3} \right)$

Это угол между кривой у = х - х^3 и прямой у = 5х. Давайте вычислим его приближенное значение:

$\theta \approx 0.588 \text{ радиан}$

Или в градусах:

$\theta \approx 33.69^\circ$

Таким образом, угол между кривой у = х - х^3 и прямой у = 5х составляет примерно 33.69 градусов.