Question

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD.На отрезке SD взята точка K так,что SK:KD=1:2.Известно,что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно 4 деленное на корень из 13.Найдите объём пирамиды. С объяснением, пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

V=207.7 см3

Объяснение:

V=Sh; h=r*tg30°

Найдем h из прямоугольного треугольника со сторонами радиус описанной окружности - катет, высота SD - катет и ребро АS - гипотенуза

h=2r*tgα; α – угол между ребром АS и плоскостью АВС

h= r*tg30° из прямоугольного треугольника со сторонами r - катет, высота SD– катет и медиана бокового ребра - гипотенуза

приравниваем tgα= tg30°/2

Отсюда α=16,1˚

R определим из подобного треугольника АОS

h=(1,1/sin16,1°)*3=3,47 см  

R=1.1/cos16,1°*3=11.84 cм

r =5.92 cм

а=2 R^2-2 R^2cos120=2*11.84^2(1-(-0.5)=20.5 cм

S основ=а^2*3^0,5/4=182 cм2

V=182*3.42/3=207.7 см3

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и тригонометрии. Обозначим длину ребра основания треугольной пирамиды через $a$.

1. Найдем высоту пирамиды:

Из условия известно, что угол между основанием и боковой гранью пирамиды равен 30 градусов. Рассмотрим треугольник SDK:

У нас имеется прямоугольный треугольник SDK, в котором известна гипотенуза SD (равная $\frac{2a}{\sqrt{3}}$) и известен катет $KD$ (равный $\frac{a}{\sqrt{3}}$).

Используем тригонометрию:

$\tan(30^\circ) = \frac{KD}{SD}$ $\tan(30^\circ) = \frac{a/\sqrt{3}}{2a/\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} = \frac{KD}{SD}$ $KD = \frac{1}{2} SD$

Теперь, зная, что $SD = \frac{2a}{\sqrt{3}}$, можем найти $KD$: $KD = \frac{1}{2} \times \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Найдем расстояние от точки K до бокового ребра:

Расстояние от точки K до бокового ребра равно $\frac{4}{\sqrt{13}}$.

3. Найдем объем пирамиды:

Объем пирамиды можно выразить через площадь основания $ABC$ и высоту $KD$: $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}$

Площадь основания $ABC$ можно найти, используя формулу для равностороннего треугольника: $\text{Площадь основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$

Теперь можем записать формулу для объема: $V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \times \frac{a}{\sqrt{3}}$

$V = \frac{a^3}{12}$

Теперь у нас есть выражение для объема пирамиды через сторону основания $a$. Осталось найти $a$. Для этого воспользуемся тем, что расстояние от точки K до бокового ребра равно $\frac{4}{\sqrt{13}}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник SDK:

$KD^2 + SD^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{13a^2}{9}$