Question

В прямоугольном треугольнике точка соприкосновения вписанных круга делит гипотенузу на отрезки 9 см и 6 см. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами вписанного круга и прямоугольного треугольника.

Сначала определим радиус вписанного круга. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Таким образом, мы можем нарисовать радиус к центру круга из точки касания до центра круга и две перпендикулярные к гипотенузе линии от точки касания до вершин основания прямоугольного треугольника. Таким образом, у нас образуется два подобных треугольника: большой прямоугольный треугольник и маленький прямоугольный треугольник.

По условию, гипотенуза большого треугольника равна 9 см, и один из катетов равен 6 см. Следовательно, второй катет большого треугольника также равен 6 см (так как треугольник прямоугольный).

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти радиус вписанного круга. Пусть $r$ - радиус вписанного круга, $x$ - длина одного из катетов маленького треугольника. Тогда отношение длин сторон между маленьким и большим треугольниками равно:

$\frac{x}{6} = \frac{r}{9}$

Теперь мы можем найти радиус вписанного круга:

$r = \frac{9x}{6}$

Так как сумма длин двух катетов маленького треугольника равна гипотенузе большого треугольника:

$x + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь мы можем найти радиус вписанного круга:

$r = \frac{9 \cdot 3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$ см

Теперь у нас есть радиус вписанного круга. Давайте найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Площадь = $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ квадратных сантиметров.

Итак, площадь треугольника равна 27 квадратных сантиметров.