Question

На боковой стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) взяли такие точки N и M (N ближе к B, чем M), что NM = AM и ∠MAC = ∠BAN. Найдите ∠CAN.

Answer 1

Пусть  ∠MAC = ∠BAN = α,   ∠NAM = ∠ANM = φ.  Поскольку AMC – внешний угол треугольника AMN, то  ∠AMC = 2φ.  ∠ACM = ∠CAB = 2α + φ.  Поэтому сумма углов треугольника AMC равна  (2α + φ) + 2φ + α = 3(α + φ).  Следовательно,  ∠CAN = α + φ = 60°.

Ответ:  60°.

Answer 2

Давайте разберём данную задачу.

Пусть $\angle CAN = x$ (угол CAN), а $\angle BAN = \angle MAC = y$ (угол BAN и угол MAC).

Из условия известно, что треугольник ABC — равнобедренный, то есть $AB = BC$. Также, из условия $NM = AM$, мы видим, что треугольник AMN тоже равнобедренный.

Теперь рассмотрим угол MAB: $\angle MAB = 180^\circ - \angle AMB - \angle BAN$ $\angle MAB = 180^\circ - \angle ANM - \angle BAN$ $\angle MAB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle CAN + \angle BAN) - \angle BAN$ $\angle MAB = 180^\circ - \frac{1}{2}(x + y) - y$ $\angle MAB = 180^\circ - \frac{x}{2} - \frac{3y}{2}$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол MAB равен углу MBA: $\angle MAB = \angle MBA$ $180^\circ - \frac{x}{2} - \frac{3y}{2} = \frac{x}{2}$ $180^\circ - \frac{4x}{2} - \frac{6y}{2} = \frac{x}{2}$ $180^\circ - 5x - 6y = \frac{x}{2}$ $360^\circ - 10x - 12y = x$ $360^\circ = 11x + 12y$

Теперь рассмотрим угол CAN: $\angle CAN = 180^\circ - \angle ACB - \angle CAB$ $\angle CAN = 180^\circ - 2y - \frac{360^\circ - 11x}{2}$ $\angle CAN = 180^\circ - 2y - 180^\circ + \frac{11x}{2}$ $\angle CAN = \frac{11x}{2} - 2y$

Теперь мы имеем два уравнения: $360^\circ = 11x + 12y$ $\angle CAN = \frac{11x}{2} - 2y$

Решим систему этих уравнений. Умножим второе уравнение на 2: $720^\circ = 11x + 24y$

Теперь выразим $y$ через $x$: $24y = 720^\circ - 11x$ $y = \frac{720^\circ - 11x}{24}$

Подставим это в первое уравнение: $360^\circ = 11x + 12 \times \frac{720^\circ - 11x}{24}$

Решим это уравнение относительно $x$ и найдем угол 0 0