Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки 6см и 10 см. Найди радиус окружности, которая проходит через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса, вершину прямого угла пересечения биссектрисы острого угла, с противолежащим этому углу катетом

Answer 1

Ответ:

$3 \sqrt{5} cm$

Объяснение:

АМ- биссектриса угла А. АМ- диаметр окружности, которая проходит через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса, вершину прямого угла и пересечения биссектрисы острого угла, с противолежащим этому углу катетом.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон:

$\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} \\ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$

АС=3х, АВ=5х, ВС=6+10=16см

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора найдём гипотенузу AB:

${AC}^{2} + {BC}^{2} = {AB}^{2} \\ 9 {x}^{2} + {16}^{2} = 25 {x}^{2} \\ 16 {x}^{2} = 256 \\ {x}^{2} = 16 \\ x = 4$

Таким образом, АС=3×х=3×4=12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСМ. По теореме Пифагора найдём гипотезу АМ:

${AM}^{2} = {AC}^{2} + {CM}^{2} = {12}^{2} + {6}^{2} = 144 + 36 = 180 \\ AM = 6 \sqrt{5}$

так как радиус равен половине диаметра то радиус окружности равен:

$r = \dfrac{1}{2} AM = \dfrac{1}{2} \times 6 \sqrt{5} = 3 \sqrt{5}$см

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• Пусть A, B и C - вершины прямоугольного треугольника, где A - вершина острого угла, B - вершина прямого угла, C - вершина острым углом.
• Пусть D - точка пересечения биссектрисы острого угла с противолежащим катетом, и E - точка пересечения биссектрисы острого угла с гипотенузой.
• Пусть R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Известно, что биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 6 см и 10 см, то есть CD = 6 см и BD = 10 см.

Также, известно, что биссектриса острого угла делит гипотенузу на две части пропорционально смежными катетами. То есть, EC/AC = BD/AB.

Из прямоугольной теоремы Пифагора для треугольника ABC: AB^2 + AC^2 = BC^2

Подставляя значения: AB^2 + EC^2 = (BD + CD)^2 AB^2 + EC^2 = (10 см + 6 см)^2 AB^2 + EC^2 = 16^2 AB^2 + EC^2 = 256

Теперь мы знаем, что EC/AC = BD/AB и AB^2 + EC^2 = 256. Мы можем использовать эти два уравнения, чтобы решить систему уравнений и найти значения EC и AC.

BD/AB = 10 см/AB EC/AC = BD/AB

Таким образом: EC/AC = 10 см/AB

EC^2 + AB^2 = 256

Теперь мы можем возвести обе стороны первого уравнения в квадрат и подставить его во второе уравнение: (EC^2/AB^2)AB^2 + AB^2 = 256 EC^2 + AB^2 = 256

Теперь выразим EC^2 через BD и AB с использованием первого уравнения: EC^2 = (BD/AB)^2AB^2

Подставим это обратно во второе уравнение: (BD/AB)^2AB^2 + AB^2 = 256

Теперь давайте решим это уравнение относительно AB. Найдя AB, мы сможем найти радиус R.

(BD/AB)^2AB^2 + AB^2 = 256 (BD^2/AB^2)AB^2 + AB^2 = 256 BD^2 + AB^4 = 256

AB^4 = 256 - BD^2

AB^2 = sqrt(256 - BD^2)

AB = sqrt(sqrt(256 - BD^2))

Теперь мы знаем значение AB. Чтобы найти радиус R, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABE:

AB^2 + AE^2 = BE^2

Мы знаем значение AB и EC (6 см), так что мы можем записать:

AB^2 + (EC + AE)^2 = BE^2 AB^2 + (6 см + AE)^2 = BE^2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BE:

BE = sqrt(AB^2 + (6 см + AE)^2)

Теперь давайте рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем значения BD (10 см) и AB, а также BE из предыдущего уравнения. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого треугольника:

BD^2 + BE^2 = DE^2

Подставим значения:

(10 см)^2 + (sqrt(256 - BD^2))^2 = DE^2 100 см^2 + (256 - BD^2) = DE^2

DE^2 = 100 см^2 + (256 - BD^2)

DE = sqrt(100 см^2 + (256 - BD^2))

Теперь мы знаем значение DE. Наконец, радиус окружности R равен половине гипотенузы треугольника ADE:

R = DE / 2

Таким образом, для нахождения радиуса R нам нужно вычислить DE, а затем разделить его пополам.