Question

Задача по геометрии 10 класс В кубе ABCDA1B1C1D1 диагональ . Точки М, Н и Р – середины соответственно ребер B1C1, C1D1 и DD1. Докажите, что плоскости АA1C1 и МНР взаимно перпендикулярны.

Answer 1

У куба все ребра=а: диагональ основания aV"2"'; (AC1)^2=a^2+(aV"2"')^2; a=2; Шестигранник правильный. Ребро его V"2"'; P=6V"2"'

Добавь как лучший

Answer 2

Для доказательства того, что плоскости AA1C1 и MNR взаимно перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойствами параллелепипеда и свойствами серединных перпендикуляров в треугольниках.

1. Рассмотрим плоскость ABCD и векторы AB1 и A1C1.

2. Так как B1 и C1 - середины рёбер BC и CD соответственно, вектор AB1 равен половине вектора AC, и вектор A1C1 равен половине вектора AC.

3. Поэтому вектор AB1 и вектор A1C1 параллельны и лежат в одной плоскости ABCD.

4. Следовательно, плоскость AA1C1 содержит векторы AB1 и A1C1 и, следовательно, лежит в плоскости ABCD.

5. Теперь рассмотрим треугольник B1C1D1.

6. Точки M, N и R - середины соответствующих сторон B1C1, C1D1 и DD1. Таким образом, MN и NR - это серединные перпендикуляры к сторонам B1C1 и C1D1 треугольника B1C1D1.

7. По свойствам параллелепипеда, стороны B1C1 и C1D1 параллельны граням AB и CD параллелепипеда.

8. Следовательно, перпендикуляры MN и NR также параллельны граням AB и CD.

9. Поскольку грани AB и CD параллельны, перпендикуляры MN и NR, проведенные к этим граням, должны быть в одной плоскости.

10. Таким образом, плоскость MNR лежит в плоскости ABCD.

11. Поскольку плоскости AA1C1 и MNR обе лежат в плоскости ABCD и пересекаются по прямой, которая является диагональю куба, то они взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости AA1C1 и MNR взаимно перпендикулярны.