Question

 Все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 30 градусов. Определите двугранные углы при ее блоковых рёбрах. Ответ должен быть arccos (2 корень из 3-3)

Answer 1

Если угол при вершине боковых граней равен 30 градусов, то углы при основании их равны по 75 градусов.

Примем сторону основания за 1.

Тогда высота на боковое ребро h равна 1*cos(30°/2).

В этой задаче надо определить косинус половинного угла.

Для косинуса 15 градусов есть несколько вариантов.

Можно так: cos 15° = cos(60° - 45°).

Подставив данные, получим cos 15° = (√2 + √6)/4.

Можно так: cos 15° = √(1 + cos30°)/2 = √(1 + (√3/2))/2.

Подставив данные, получим cos 15° = (√(2 + √3))/2.

Можно и в таком варианте: cos 15° = (√3 + 1)/(2√2 ).

Угол между боковыми гранями равен плоскому углу между высотами к боковому ребру.

По формуле косинусов этот угол равен:

α = arc cos((h² - 1)/(2h²)).

Подставив данные, получаем α = 62,34790439 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи представьте себе треугольную пирамиду с вершиной A и треугольной основой BCD. Для начала определим, какие это углы в вершине пирамиды. У нас есть информация о том, что все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 30 градусам, поэтому каждый из этих углов равен 30 градусам.

Теперь давайте рассмотрим двугранные углы при блоковых рёбрах пирамиды. Эти углы образуются между боковыми гранями пирамиды и её основанием BCD. Мы знаем, что в треугольнике угол при вершине (угол A) равен 30 градусам, и у нас есть треугольная пирамида, поэтому двугранные углы при блоковых рёбрах равны углам основания треугольника BCD.

Для того чтобы найти эти углы, мы можем использовать косинусную теорему для треугольника BCD. Эта теорема гласит:

cos(угол BCD) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab),

где a, b и c - длины сторон треугольника. В данном случае сторона AB равна 1 (поскольку это ребро пирамиды), а стороны BC и CD также равны 1 (поскольку основание треугольника является равносторонним треугольником с углами в 60 градусов).

Подставим значения:

cos(угол BCD) = (1^2 + 1^2 - 1^2) / (2 * 1 * 1) = (1 + 1 - 1) / 2 = 1 / 2.

Теперь нам нужно найти угол BCD. Для этого используем обратную функцию косинуса:

угол BCD = arccos(1/2) = π/3.

Таким образом, двугранный угол при блоковом ребре пирамиды равен π/3 радиан или приближенно 60 градусам.

Итак, ответ на ваш вопрос:

Двугранные углы при блоковых рёбрах пирамиды равны arccos(2√3 - 3).