Question

СРОЧНОООО Найдите площадь трапеции, у которой сред- няя линия равна10 см, боковая сторона 6 см и составляет с одним из оснований угол 30°. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 3 см и 4 см. Какую наибольшую пло- щадь может иметь этот четырехугольник?

Answer 1

Ответ:

См. Объяснение

Объяснение:

Задача 1

Найдите площадь трапеции,

у которой средняя линия равна 10 см, боковая сторона 6 см и составляет с одним из оснований угол 30°.

Решение

1) Находим высоту трапеции. Она равна  произведению боковой стороны на синус углу 30°:

h = 6 · sin 30° = 6 · 0,5 = 3 см

2) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:

S = 10 · 3 = 30 cм²

Ответ: 30 cм²

Задача 2

Диагонали выпуклого четырехугольника равны 3 см и 4 см. Какую наибольшую площадь может иметь этот четырехугольник?

Решение

Максимальной площадь четырёхугольника будет тогда, когда диагонали будут пересекаться под углом 90°.

Это следует из того, что при пересечении диагоналей образуется 4 треугольника, площадь каждого из которых рассчитывается как половина произведения сторон на синус угла между ними, а так как максимальное значение синуса угла равно 1, то это значит что угол между диагоналями должен быть 90°.

Пусть диагонали делятся в точке пересечения на отрезки:

х и (3-х),

у и (4-у).

Тогда площади полученных 4-х прямоугольных треугольников, образованных пересечением диагоналей, будут соответственно равны:

S₁= ху/2,

S₂=(3-х)у/2

S₃=(4-у)(3-х)/2

S₄=(4-у)х/2

Сложив эти площади, получим:

S = S₁+S₂+S₃+S₄ = (ху+3у-ху+12-4х-3у+ху+4х-ху):2 = 12:2 = 6 см²

Следовательно, наибольшая площадь S выпуклого четырёхугольника с  диагоналями 3 см и 4 см равна 6 см².

Ответ: 6 см².

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу по шагам:

1. Найдем высоту трапеции. У нас есть боковая сторона, равная 6 см, и угол 30° между этой стороной и одним из оснований трапеции. Высоту можно найти, используя тригонометрию. Так как тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей, то:

   $\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{6}$

   $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{противолежащая сторона}}{6}$

   $\text{противолежащая сторона} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу для площади трапеции:

   $S = \frac{1}{2} \cdot (\text{сумма оснований}) \cdot \text{высота}$

   $S = \frac{1}{2} \cdot (6 + 2\sqrt{3} + 6) \cdot 10 = 5(6 + 2\sqrt{3})$ квадратных сантиметров.

3. Теперь давайте перейдем к поиску максимальной площади выпуклого четырехугольника с данными диагоналями. Максимальная площадь будет, очевидно, достигаться, когда четырехугольник является ромбом. Диагонали ромба равны и пересекаются под прямым углом.

4. Известно, что одна из диагоналей четырехугольника равна 3 см, а другая - 4 см. Эти диагонали могут быть рассмотрены как диагонали ромба.

5. Площадь ромба можно найти, используя следующую формулу:

   $S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} \cdot \text{первая диагональ} \cdot \text{вторая диагональ}$

   $S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ квадратных сантиметров.

Таким образом, максимальная площадь, которую может иметь четырехугольник с данными диагоналями, равна 6 квадратным сантиметрам. Это значение максимальной площади для данной задачи.