Question

3. Медианы ЕN и FM треугольника EFK, длины которых 12 и 18, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь Треугольника EFK.

Answer 1

Медианы ЕN и FM треугольника EFK, длины которых 12 и 18, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь Треугольника EFK.

Объяснение:

1)   Рассмотрим  выпуклый четырёхугольник  EFNM  у которого диагонали , по условию, взаимно- перпендикулярны .

Его площадь  можно найти по формуле S = 1/2*d₁*d₂* sin (∠d₁d₂).

S(EFNM) = 1/2*12*18* sin 90°=108 ( ед²).

2)  S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK)

3)   MN-средняя линия , тк M,N-середины сторон по определению медианы . По т. о средней линии треугольника MN║EF .

ΔEFK ∼ΔMNK  по 2-м углам : ∠К -общий ,∠FEK=∠NMK как соответственные при MN║EF ,секущей ЕК ⇒ сходственные стороны

пропорциональны  $\frac{EF}{MN} =\frac{2}{1}$ ,   k=$\frac{2}{1}$ . По т об отношении площадей

подобных треугольников  $\frac{S(EFK)}{S(MNK)} =k^{2}$  или  $\frac{S(MNK)+S(EFNM)}{S(MNK)} =\frac{4}{1}$ ,

4*S( MNK)=S(MNK)+S(EFNM) ,

3(MNK)=108 ,  S(MNK)=36 ед².

4)  S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK) =108+36=144 ( ед²).

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника EFK, нам нужно найти длины его медиан. Медианы пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1.

Пусть точка пересечения медиан обозначается как G. Длина медианы EN равна 12, а длина медианы FM равна 18. Так как G делит медианы в отношении 2:1, то длина EG будет (2/3) * 12 = 8, а длина FG будет (2/3) * 18 = 12.

Теперь у нас есть длины всех трех медиан треугольника EFK: EG = 8, FG = 12 и GK = 12. Так как медианы треугольника пересекаются под прямым углом, то треугольник EFG является прямоугольным.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (половина произведения катетов)

В нашем случае, катетами являются EG и FG, поэтому:

Площадь треугольника EFG = (1/2) * EG * FG = (1/2) * 8 * 12 = 48 квадратных единиц.

Таким образом, площадь треугольника EFK равна 48 квадратным единицам.