Question

Пусть о центр описанной около ABC окружности, J центр вписанной окружности Докажите что если. A, B, O и J лежат на одной окружности то угол C равен 60 градусов

Answer 1

O - центр описанной окружности

I - центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис (инцентр)

Вписанный угол (ACB) равен половине центрального (AOB), опирающегося на ту же дугу.

AOB =2C

△AIB: A/2 +B/2 +AIB =180

△ABC: A +B +C =180

AIB =90 +C/2

Точки AOIB лежат на окружности => отрезок AB виден из точек O и I под равным углом.

AOB =AIB => 2C=90 +C/2 => C =90*2/3 =60°

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим следующую ситуацию:

1. $O$ - центр описанной окружности $\odot ABC$.
2. $J$ - центр вписанной окружности в треугольник $ABC$.

Если точки $A, B, O$ и $J$ лежат на одной окружности, то у нас есть центр описанной окружности $O$. Это также означает, что $AO = BO$ (радиусы описанной окружности равны).

Также известно, что радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника. Таким образом, $JA = JB = JC$.

Теперь давайте рассмотрим треугольник $AOJ$. У нас есть равные стороны $AO = BO$ и $JA = JB = JC$, и поэтому треугольник $AOJ$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Поскольку $\angle AOC$ - это угол в центре описанной окружности, вписанный в этот треугольник, то $\angle AOC$ также равен 60 градусам.

Таким образом, мы доказали, что если точки $A, B, O$ и $J$ лежат на одной окружности, то угол $C$ равен 60 градусам.