Question

Вычислить проекцию вектора a 5 2 5 на ось вектора b 2 -1 2

Answer 1

Проекция вектора а на вектор b:

Пр b(a)=(a*b)/IbI

----------------------------

Найдем скалярное произведение векторов а(5; 2; 5) и b(2; -1; 2)

(a*b)=ax*bx + ay*by + az*bz=

5*2 + 2*(-1) + 5*2=10-2+10=18

Найдем модуль вектора b

IbI=√(bx²+by²+bz²)=

√(2²+(-1)²+2²)=√(4+1+4)=3

Пр b(a)=18/3=6  -  это ответ.

------------------------------------------------------

Над векторами ставьте черточки.

Пр b(а)  записывается: Пр (b пониже) а. Со стрелочками векторов.

Answer 2

Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Прa_b = ab/|b|

где a*b - скалярное произведение векторов, |b| - модуль вектора b.

Скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатам, находится по формуле: a*b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.

Найдем скалярное произведение векторов b=(2;-1;2) и a(5;2;5).

По формуле находим:

a*b = 5*2 + 2*(-1) + 5*2 = 18

Найдем модуль вектора : |b| = √(4+1+4) = √9 = 3.

Найдем проекцию вектора a на вектор b.

Прa_b = 18/3 = 6.

Answer 3

Для вычисления проекции вектора a на ось вектора b, вы можете использовать следующую формулу:

$\text{proj}_b(a) = \frac{a \cdot b}{\|b\|^2} \cdot b$

Где:

• a - вектор, который вы хотите проектировать ([5, 2, 5] в вашем случае).
• b - вектор, на ось которого вы хотите проектировать a ([2, -1, 2] в вашем случае).
• a * b - скалярное произведение векторов a и b.
• ||b||^2 - квадрат нормы вектора b.

Давайте вычислим это:

1. Сначала вычислим скалярное произведение a и b: $a \cdot b = 5 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 = 10 - 2 + 10 = 18$

2. Теперь вычислим квадрат нормы вектора b: $||b||^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$

3. Теперь мы можем найти проекцию вектора a на ось вектора b: $\text{proj}_b(a) = \frac{18}{9} \cdot [2, -1, 2] = 2 \cdot [2, -1, 2] = [4, -2, 4]$

Таким образом, проекция вектора [5, 2, 5] на ось вектора [2, -1, 2] равна [4, -2, 4].